Question

如图所示，水平线MN的上方区域是场强大小为E的匀强电场，其方向指向右上方向且与MN的夹角θ=45°，水平线MN的下方是有一定高度的磁感应强度为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向外．一个不计重力的带负电的粒子，从MN上的O点，以v₀的初速度沿电场方向射入匀强电场．已知粒子的电量为q，质量为m，求：
（1）要使粒子离开匀强电场后能够再次返回匀强电场，匀强磁场的高度d至少为多少？
（2）若水平虚线MN下方的匀强磁场是足够高，求粒子离开O点后第一次回到水平线MN进入磁场到第二次回到MN的过程，所用的时间t₁为多少？
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的过程，所用的时间t₂为多少？

Answer 1

分析：（1）分析带电粒子的运动情况：粒子进入电场后，先做匀减速运动，再反向做匀加速运动，仍以大小为v₀的速度从O点第一次经过水平线MN进入磁场，如图所示．在磁场中由洛伦兹力提供向心力则做匀速圆周运动，要使粒子离开匀强电场后能够再次返回匀强电场，磁场中其轨迹最多到磁场下边界相切，由牛顿第二定律求出磁场中轨迹半径，由几何关系求解匀强磁场的高度d的最小值．
（2）找出磁场中轨迹的圆心角，即可求解磁场中运动时间．
（3）粒子从C点运动到D点，做类平抛运动，运用运动的分解法，由运动学公式和牛顿第二定律求解时间t₂．

解答：解：（1）带负电粒子进入电场后，先做匀减速运动，再反向做匀加速运动，仍以大小为v₀的速度从O点第一次经过水平线MN进入磁场，如图所示．
使粒子能够再次回到电场，磁场宽度至少满足
 d=R+Rcosθ…①
R为粒子在磁场中做圆周运动的半径，
由牛顿第二定律有
qv₀B=m

v 2 0

R

…②
解得匀强磁场原宽度d至少为：
 d=

(2+ 2 )mv0

2qB

…③
（2）粒子从电场中第一次经过水平线MN进入磁场做匀速圆周运动，设粒子在磁场中运动时间为t₁
  T=

2πm

qB

…④
 t₁=

3

4

T=

3πm

2qB

…⑤
（3）粒子从C点运动到D点，做类平抛运动，由几何关系可知，位移CD方向与粒子在C点的速度方向夹角α=45°
x=v₀t₂…⑥
y=

qE

2m

t

2 2

…⑦
tan45°=

y

x

…⑧
解得 t2=

2mv0

qE

…⑨
答：
（1）要使粒子离开匀强电场后能够再次返回匀强电场，匀强磁场的高度d至少为

(2+ 2 )mv0

2qB

．
（2）粒子离开O点后第一次回到水平线MN进入磁场到第二次回到MN的过程，所用的时间t₁为

3πm

2qB

．
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的过程，所用的时间t₂为

2mv0

qE

．

点评：本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的运动情况是关键，要挖掘隐含的临界条件，运用几何知识求解空间的距离．