Question

14．一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω，金属框放在表面绝缘的斜面AA′BB′的顶端（金属框上边与AA′重合），自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端（金属框下边与BB′重合），设金属框在下滑过程中的速度为v，与此对应的位移为s，那么v²-s图象如图所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上，金属框与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²，sin53°=0.8；cos53°=0.6．

（1）根据v²一s图象所提供的信息，计算出金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间
（2）求出斜面AA′BB′的倾斜角θ
（3）求匀强磁场的磁感强度B的大小
（4）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB′（金属框下边与BB′重合）由静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端（金属框上边与AA′重合）．试计算恒力F做功的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据图象可知线框的运动分为三部分，开始初速度为零的匀加速，接着匀速，最后又是匀加速，根据图象提供的速度、位移关系结合运动学规律，可正确解答．
（2）根据v²-s图象求出匀加速运动的加速度，根据牛顿第二定律求出斜面的倾角．根据匀速运动过程求得磁场宽度d．
（3）根据匀速直线运动时重力沿斜面方向的分力等于安培力求出磁感应强度．
（3）运用动能定理研究恒力作用时到金属框上边进入磁场列出等式，线框穿过磁场时处于平衡状态列出等式求解．

解答 解：（1）由v²-s图象可知，物体运动分为三段，
设位移分别为 S₁，S₂，S₃对应的时间分别为t₁，t₂，t₃，
S₁=0.9m v₀=0 匀加速运动
S₂=1m v₁=3m/s 匀速运动
S₃=1.6m 初速度v₁=3m/s 末速度v₃=5m/s 匀加速运动
$由公式{v_1}^2=2a{s_1}$
得a=5.0m/s²
${t_1}=\frac{v_1}{a}=\frac{3}{5}s=0.6s$，${t_2}=\frac{s_2}{v_1}=\frac{1}{3}s$，${t_3}=\frac{{{v_2}-{v_1}}}{a}=\frac{5-3}{5}s=0.4s$
所以：$T={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{4}{3}s$
（2）线框加速下滑时，由牛顿第二定律得mgsinθ-μmgcosθ=ma
由a=5.0m/s²，得　θ=53⁰
（3）线框通过磁场时，线框作匀速运动，线框受力平衡；$\frac{{{B^2}{L^2}{v_1}}}{R}+μmgcosθ=mgsinθ$
线框的宽度L=d=0.5s₂=0.5m
得$B=\frac{{\sqrt{3}}}{3}T$
（4）设恒力作用时金属框上边进入磁场速度为v₃，
$F{s_3}-mgsinθ{s_3}-μmgscosθ{s_3}=\frac{1}{2}m{v_3}^2$，又$F=mgsinθ+μmgcosθ+\frac{{{B^2}{l^2}{v_3}}}{R}$
解得：${v}_{3}=\frac{16}{3}m/s$，F≈2N
由于$\frac{1}{2}m{v_3}^2＞（mgsinθ+μmgcosθ）{s_1}$
所以力F做功的最小值为：W=F（s₂+s₃）=2×2.6≈5.2J
答：（1）金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为$\frac{4}{3}$s
（2）斜面AA′BB′的倾斜角θ为53°
（3）匀强磁场的磁感强度B的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}T$
（4）恒力F做功的最小值为5.2J．

点评 解决本题的关键能通过图象分析出物体的运动状况：先做匀加速，再做匀速，接着做匀加速．以及能对线框进行正确的受力分析和熟练运用动能定理．