Question

如下图1是过山车的实物图，图2为过山车的模型图．在模型图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点高度相同，圆形轨道与斜轨道之间连接圆滑．为使小车从P点以一定的初速度沿斜面向下运动能过A、B两点，求小车在P点的速度应满足什么条件？（小车可视作质点，已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

1

24

．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：首先根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v₀比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O₁．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道．

解答：解：由动能定理可得小车在B点的速度小于在A点的速度，而过最高点的临界速度满足 mg=

mv2

R

，故小车若能过B点，则一定能过A点．
设小车在P点的速度为v₀时，恰能过B点，则在B点时有：mg=

m v 2 B

R2

．
P点到B点的过程，由动能定理得：-（μmgcosα）L₂=

1

2

mv

2 B

-

1

2

mv

2 0

其中L₂为PZ的距离，满足L₂=

R2(1+cosα)

sinα

=24m/s
解得：v₀=4

6

m/s
则小车在P点的速度满足的条件为v_p≥4

6

m/s．
答：小车在P点的速度应满足的条件是v_p≥4

6

m/s．

点评：本题是竖直平面内圆周运动的类型，关键抓住最高点的临界条件，结合动能定理分析求解．