Question

4．均匀半圆形金属拱架ABC的圆心在O点，质量M=1000kg，A端用铰链连接，B端放在滚珠上，有一质量m=500kg的物体从最高点C无摩擦地滑下，如图所示，求当物体滑到D点时（∠COD=30°），A、B两支点对拱架的作用力．

Answer 1

分析 对CD过程根据机械能守恒定律进行分析求解D点的速度，再根据向心力公式求出D点受到的作用力，再对支架分析，以A为支点求出B点的作用力；再对A分析，分别对水平和竖直两个方向列出平衡方程求解．

解答 解：对CD过程由机械能守恒定律可得：
mgR（1-cos30°）=$\frac{1}{2}$mv²
根据向心力公式可得：
mgcos30°-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得N点的支持力为：F=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg
由牛顿第三定律可得D点拱架受到的力为：F'=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg；
对拱架分析，以A为转轴，根据力矩平衡条件可得：
N_B•2R=MgR+F′Rcos30°
解得：N_B=6295N；方向竖直向上；
对拱架以B为转轴，则应有：
N_Ax=F′_x=F′sin30°
解得：N_Ax=1495N；
N_Ay=Mg+F′_y-F'
N_Ay=6295N
则根据力的合成可知：
N_A=$\sqrt{{N}_{Ax}+{N}_{Ay}}$
联立解得：N_A=6470N；
tanθ=$\frac{{N}_{Ax}}{{N}_{Ay}}$=$\frac{1495}{6295}$=0.24；
答：A支点对拱架的作用力分别为6470N，方向与水平方向夹角的正切值为0.24； B支点的作用力为6295N，方向竖直向上．

点评 本题考查力矩平衡以及共点力的平衡问题的分析，要注意明确在求B点时应用力矩平衡，而由于A点为铰链，故不能利用力矩平衡，只能根据水平和竖直两个广告上的平衡条件列式求解．