Question

20．如图甲所示，有一装置由倾斜轨道AB、水平轨道BC、竖直台阶CD和足够长的水平直轨道DE组成，表面处处光滑，且AB段与BC段通过一小圆弧（未画出）平滑相接．有一小球用轻绳竖直悬挂在C点的正上方，小球与BC平面相切但无挤压．紧靠台阶右侧停放着一辆小车，车的上表面水平与B点等高且右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，其中PQ段是粗糙的，Q点右侧表面光滑．现将一个滑块从倾斜轨道的顶端A处自由释放，滑至C点时与小球发生正碰，然后从小车左端P点滑上小车．碰撞之后小球在竖直平面做圆周运动，轻绳受到的拉力如图乙所示．已知滑块、小球和小车的质量分别为m₁=3kg、m₂=1kg和m₃=6kg，AB轨道顶端A点距BC段的高度为h=0.8m，PQ段长度为L=0.4m，轻绳的长度为R=0.5m． 滑块、小球均可视为质点．取g=10m/s²．求：

（1）滑块到达BC轨道上时的速度大小．
（2）滑块与小球碰后瞬间小球的速度大小．
（3）要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则滑块与PQ之间的动摩擦因数μ应在什么范围内？（滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内）

Answer 1

分析 （1）对滑块下滑过程，由机械能守恒定律可以求出其到达BC轨道上时的速度；
（2）由图乙可知小球在最高点时受到的拉力F=22N．对小球在最高点的情况进行研究，由牛顿第二定律求出最高点的速度，再由机械能守恒定律可以求出滑块与小球碰后瞬间小球的速度大小；
（3）由动量守恒定律与能量守恒定律求出动摩擦因数，然后答题．

解答 解：（1）设滑块与小球碰撞前瞬间速度为v₀，由机械能守恒，
有   ${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}v_0^2$  ①
得   v₀=4m/s
（2）设小球在最高点的速度为v，由图乙可知小球在最高点时受到的拉力 F=22N
由牛顿第二定律，有 $F+{m_2}g=\frac{{{m_2}{v^2}}}{R}$ ②
设小球碰撞后瞬间速度为v′，由机械能守恒，有 $\frac{1}{2}{m_2}{v'^2}=\frac{1}{2}{m_2}v_{\;}^2+2{m_2}gR$ ③
联立①②③并代入数据，解得 v′=6m/s
（3）取向右为正方向，滑块与小球碰撞过程满足动量守恒，则有：m₁v₀=m₁v₁+m₂v′④
得碰撞后m₁的速度 v₁=2m/s，方向向右
滑块最终没有滑离小车，滑块和小车之间必有共同的末速度 v_共
由滑块与小车组成的系统动量守恒：m₁v₁=（m₁+m₃）v_共 ⑤
（Ⅰ）若μ较大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由能量转化与守恒有
 ${μ_1}{m_1}gL=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2-\frac{1}{2}（{{m_1}+{m_3}}）v_共^2$ ⑥
联立④⑤⑥得 ${μ_1}=\frac{1}{3}$
（Ⅱ）若μ不是很大，则滑块必然挤压弹簧，再被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由能量转化与守恒有
  $2{μ_2}{m_1}gL=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2-\frac{1}{2}（{{m_1}+{m_3}}）v_共^2$ ⑦
④⑤⑦得   ${μ_2}=\frac{1}{6}$
综上所述，得$\frac{1}{6}≤μ＜\frac{1}{3}$
答：
（1）滑块到达BC轨道上时的速度大小为4m/s．
（2）滑块与小球碰后瞬间小球的速度大小为6m/s．
（3）滑块与PQ之间的动摩擦因数μ应为$\frac{1}{6}≤μ＜\frac{1}{3}$．

点评 本题运动过程复杂，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．