Question

11．如图所示，水平地面上方有一底部带有小孔的绝缘弹性竖直挡板，板高h=9m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s=3m．板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T；质量m=1×10^-3kg、电量q=-1×10^-3C、直径略小于小孔宽度的带电小球（视为质点），以某一速度垂直于磁场方向从小孔水平射入，恰好做匀速圆周运动，若与档板相碰就以原速率弹回，且不计碰撞时间，碰撞时小球的电量保持不变，取g=10m/s²，求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）小球运动的最大速率；
（3）小球运动的最长时间．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）洛伦兹力提供向心力，故半径越大，速度越大，当小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，根据几何关系求解出半径，然后求解最大速度；
（3）要求最长时间，需求最大圆心角，画出轨迹，根据几何关系得到半径的可能值，然后求解最长时间．

解答 解：（1）小球能做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，
则：qE=mg，代入数据解得：E=10N/C，方向竖直向下；

（2）小球做圆周运动，洛仑兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，如图1所示，
由几何知识可得：（h-R_m）²+s²=R_m²，解得：R_m=5m，v_m=$\frac{qB{R}_{m}}{m}$=5m/s；
（3）设小球与档板碰撞n次，此时最小半径为：$\frac{h}{2n}$，
要击中目标必有：$\frac{h}{2n}$≥3，$\frac{9}{2n}$≥3，n≤1.5，
则n只能取：0、1，
当n=0时，即为（2）问中的解，
当n=1时，可得：（h-3R）²+s²=R²，
（9-3R）²+3²=R²，解得：R₁=3m，R₂=3.75m，
当R₂=3.75m时小球运动的时间最长，其运动轨迹如图2中的轨迹①所示．
sinθ=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{4}{5}$，解得：θ=53°，α=360°+（180°-53°）=487°，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$，解得：t_m=$\frac{487°}{360°}$T≈8.5s；
答：（1）电场强度的大小为10N/C，方向：竖直向下；
（2）小球运动的最大速率为5m/s；
（3）小球运动的最长时间为8.5s．

点评 本题关键明确小球的运动规律，找到向心力来源，画出轨迹，然后根据几何关系求解半径，再联立方程组求解．