Question

19．足够长的光滑水平平台高为h₁=30m上，质量为m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住．打开锁扣K，物块向右滑行，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向进入圆弧形轨道．B点的高度h₂=15m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L=70m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞，g=10m/s²．求：
（1）小物块由A到B的运动时间；
（2）小物块在弹簧恢复原长时所具有的动能为多少？
（3）小物块与墙壁只发生一次碰撞，最后停在轨道CD上的某点P．设小物块与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围？（注意：碰撞前后没有能量损失，速度等大反向）

Answer 1

分析 （1）物块离开平台做平抛运动，根据高度求出运动的时间．
（2）根据几何关系求出圆弧的圆心角，通过平行四边形定则，结合竖直分速度求出水平分速度，即平抛运动的初速度，根据能量守恒求出弹性势能的大小．
（3）对全过程分析，运用能量守恒求出动摩擦因数的大小．

解答 解：（1）由于h₁=30 m，h₂=15 m，设从A运动到B的时间为t，则有：h₁-h₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入数据解得：t=$\sqrt{3}$ s
（2）由Rcos∠BOC=h₁-h₂，R=h₁，所以∠BOC=60°．设小物块平抛的水平速度是v₁，则有：$\frac{gt}{v1}$=tan60°
代入数据解得：v₁=10 m/s
则E_p=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=50 J
（3）设小物块在水平轨道CD上通过的总路程为s_总．
根据题意，该路程的最大值是s_max=3L，
路程的最小值是s_min=L
路程最大时，动摩擦因数最小，路程最小时，动摩擦因数最大，即由能量守恒知：
mgh₁+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=μ_minmgs_max
mgh₁+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{1}^{2}$=μ_maxmgs_min
解得：μ_max=$\frac{1}{2}$，
μ_min=$\frac{1}{6}$
即$\frac{1}{6}$≤μ≤$\frac{1}{2}$
答：（1）小物块由A运动到B的时间为$\sqrt{3}$s．
（2）小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能Ep的大小为50J．
（3）动摩擦因数范围为$\frac{1}{6}$≤μ≤$\frac{1}{2}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合进入圆弧轨道的速度方向，通过平行四边形定则求出初速度是解决本题的关键．