Question

如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面内有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，B₁＝B₂＝1T，电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内(电梯桥厢在图中未画出)，并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为m＝5×10³ kg，所受阻力大小为F_f＝500 N，金属框垂直轨道的边长为L_cd＝2 m，两磁场的宽度均与金属框的边长L_ac相同，金属框整个回路的电阻为R＝1.0×10^－3 Ω，问：

(1)假如两磁场始终竖直向上做匀速运动．设计要求电梯以v₁＝10 m/s的速度向上匀速运动，那么，磁场向上运动的速度v₀应该为多大？

(2)假如t＝0时两磁场由静止开始向上做匀加速运动，加速度大小为a＝1.5 m/s²，电梯可近似认为过一小段时间后也由静止开始向上做匀加速运动，t＝5 s末电梯的速度多大？电梯运动的时间内金属框中消耗的电功率多大？从电梯开始运动到t＝5 s末时间内外界提供给系统的总能量为多大？

Answer 1

答案：
解析：

(1)电梯向上匀速运动时，框中感应电流大小为I＝2B1Lcd(v0－v1)/R(1分)， 　　金属框所受安培力F＝2B1ILcd(1分)， 　　安培力大小与重力和阻力之和相等，所以F＝mg＋Ff(1分)， 　　即4B12Lcd2(v0－v1)/R＝mg＋Ff(2分)，可得：v0＝13.2 m/s(1分)， 　　(2)电梯向上匀加速运动时，金属框中感应电流大小为I＝2B1Lcd(v2－v1)/R(1分)， 　　金属框所受安培力F＝2B1ILcd，由牛顿定律得：F－mg－Ff＝ma(1分)， 　　即4B12Lcd2(at－v1)/R－mg－Ff＝ma(1分)， 　　解得：v1＝at－(mg＋ma＋Ff)R/4B12Lcd2＝3.9 m/s(1分)， 　　金属框中感应电流为：I＝2B1Lcd(at－v1)/R＝1.44×104 A(1分)， 　　金属框中的电功率为：P1＝I2R＝2.07×105 W(1分)， 　　电梯上升高度为h＝v12/2a＝5.07 m(1分)，上升时间为＝v1/a＝2.6 s(1分)， 　　外界提供的总能量为E＝mgh＋Ffh＋mv12＋P1’＝8.3×105 J(1分)．