Question

19．如图所示，ab为竖直平面内的半圆环acb的水平直径，c为环上最低点，环半径为R．将一个小球从a点以初速度v₀沿ab方向抛出，运动一段时间后掉在环上．设重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）

• A． 小球的初速度v₀越大，空中运动时间越长
• B． 小球的初速度v₀越大，掉到环上时刻重力的功率越大
• C． 当小球的初速度时v₀=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$，掉到环上时的竖直分速度最大
• D． 无论v₀取何值，小球都不可能垂直撞击圆环

Answer 1

分析 小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，时间由下落的高度决定，当小球落在c点时运动的时间最长；当水平位移大于圆环的半径时，小球会落在cb段；重力的功率由重力和竖直分速度的乘积分析．根据速度的反向延长线交于水平位移的中点，分析小球能否垂直撞击圆环．

解答 解：AB、平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，可知小球下落的高度越大，小球运动时间的越长，与初速度无关．初速度大时，下落的高度可能小，运动时间短，故A错误．
B、当小球落在c时时间最长．则最长时间为 t_max=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，掉到环上时刻竖直分速度为 v_y=gt=$\sqrt{2gR}$，由重力的功率P=mgv_y，此时重力的功率最大，当小球的初速度v₀越大时，运动时间不一定越长，重力的功率不一定越大，故B错误．
C、当小球落在c时时间最长，竖直分速度最大．对应的初速度为 v₀=$\frac{R}{{t}_{max}}$=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$，故C正确．
D、小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环．故D正确．
故选：CD．

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，能巧妙运用“中点”的推论分析小球速度的方向，也可以结合运动学公式列式进行分析．