Question

10．如图甲所示，一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω，金属框放在表面绝缘的斜面AA′B′B的顶端（金属框上边与AA′重合），自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端（金属框下边与BB′重合），设金属框在下滑过程中的速度为v，与此对应的位移为x，那么v²-x图象如图乙所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上，金属框与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，斜面倾角θ=53°取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）金属框下滑加速度a和进入磁场的速度v₁；
（2）金属框经过磁场时受到的安培力F_A大小和产生的电热Q；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小B．

Answer 1

分析 （1）对线框在磁场上方运动过程进行分析，明确下落位移，再由牛顿第二定律求得加速度，由运动学公式可求得速度；
（2）对于线框在磁场中的运动过程分析，根据功能关系可求得安培力所做的功及产生的热量；
（3）根据E=BLv及欧姆定律及安培力公式联立可求得磁感应强度．

解答 解：（1）在金属框开始下落下滑阶段，由图可得：x₁=0.9m；
由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得：a=gsinθ-μgcosθ=10×（0.8-0.5×0.6）=5m/s²；
由运动学公式可得：
v₁²=2ax₁
解得：v₁=3m/s；
（2）由图可知，金属框穿过磁场的整个过程中做匀速直线运动；
L=d=$\frac{1.9-0.9}{2}$=0.5m；
线框通过磁场时，线框做匀速直线运动，线框受力平衡
由平衡条件可得：
mgsinθ-μmgcosθ-F_A=0
解得；F_A=0.5N；
安培力做功W_A=-F_A（L+d）=-0.5×1=-0.5J；
根据能量关系可知，Q=-W_A=0.5J；
（3）由安培力公式得：
F_A=BIL
由导体切割磁感线规律可知：
E=BLv₁
由闭合电路欧姆定律可知：
I=$\frac{E}{R}$；
联立解得：B=$\frac{\sqrt{3}}{3}T$
答：（1）金属框下滑加速度a为5m/s²；和进入磁场的速度v₁为3m/s
（2）金属框经过磁场时受到的安培力F_A大小为5N；产生的电热Q为0.5J；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小B为$\frac{\sqrt{3}}{3}T$

点评 解决本题的关键读懂图象，知道金属框先做匀加速直线运动，再做匀速直线运动，再做匀加速直线运动，且磁场的宽度等于金属框的边长．