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    （2010?盐城一模）如图所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面有均匀向外的辐射状的磁场．磁棒外套有一个质量均匀的圆形线圈，质量为m，半径为R，电阻为r，线圈所在磁场处的磁感应强度为B．让线圈从磁棒上端由静止释放沿磁棒下落，经一段时间与水平面相碰并反弹，线圈反弹速度减小到零后又沿磁棒下落，这样线圈会不断地与水平面相碰下去，直到停留在水平面上．已知第一次碰后反弹上升的时间为t1，下落的时间为t2，重力加速度为g，不计碰撞过程中能量损失和线圈中电流磁场的影响．求：
    （1）线圈第一次下落过程中的最大速度υm
    （2）第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电量q
    （3）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q．
    分析：（1）线圈下落过程中垂直切割磁感线，产生感应电动势，由E=BLv、I=
    E
    r
    、FA=BIL得到安培力的表达式，由牛顿第二定律分析线圈加速度的变化，判断线圈的运动情况：安培力逐渐增大，加速度逐渐减小，当安培力与重力平衡时，线圈做匀速直线运动，速度达到最大，由平衡条件可求出最大速度．
    （2）根据牛顿第二定律得到反弹上升过程中线圈加速度的表达式，采用积分法求出电量q．
    （3）根据牛顿第二定律和安培力表达式得到加速度与瞬时速度的关系式，求出一段微小时间△t内，线圈上升高度△h，由积分法求出线圈上升的最大高度．再采用积分法求出线圈第二次下降到水平面时的速度，由能量守恒定律可求出焦耳热Q．
    解答：解：（1）线圈第一次下落过程中有E=B?2πRv、I=
    E
    r
    、FA=BIL=BI?2πR，得安培力大小为  FA=
    4π2B2R2v
    r

    根据牛顿第二定律得 mg-FA=ma
    可知线圈做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最大，代入求得最大速度为：υm=
    mgr
    4π2B2R2

    （2）反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得：mg+BI?2πR=ma
    则得：mg△t+BI?2πR?△t=ma△t
    在一段微小时间△t内，速度增量为△υ=a△t，通过线圈截面电量为：△q=I△t
    则：△q=
    ma△t-mg△t
    2πRB

    得到：∑△q=
    ∑(ma-mg)△t
    2πRB
    ，又
     
     
    ma△t=
     
     
    m△v=mvm=
    m2gr
    4π2B2R2
    ，
     
     
    mg△t=mgt1，
    故：q=
    m2gr
    8π3B3R3
    -
    mgt1
    2πBR

    （3）反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得：mg+B
    2πRBυ
    r
    ×2πR=ma
    在一段微小时间△t内，速度增量为：△υ=a△t，线圈上升高度为：△h=υ△t
    则线圈可上升的最大高度h为：h=∑△h=
    ∑(ma-mg)△t
    4π2R2B2
    r=
    m2gr2
    16π4B4R4
    -
    mgrt1
    4π2R2B2

    线圈到达最高点后，下落过程中的某一时刻，由牛顿运动定律得：mg-B
    2πRBυ
    r
    ×2πR=ma
    在一段微小时间△t内，速度增量为：△υ=a△t，线圈下降高度为：△h=υ△t
    则线圈第二次下降到水平面时的速度为：υ=∑△υ=
    1
    m
    ∑(mg-
    4π2B2R2
    r
    )△t=g(t1+t2)-
    mgr
    4π2B2R2

    本过程中线圈中产生的热量为线圈动能的损失：Q=
    1
    2
    mυm2-
    1
    2
    mυ2=
    1
    2
    m(
    mgr
    4π2B2R2
    )2-
    1
    2
    m(g(t1+t2)-
    mgr
    4π2B2R2
    )2
    化简得：Q=
    m2g2r
    4π2B2R2
    (t1+t2)-
    1
    2
    mg2(t1+t2)2     
    答：（1）线圈第一次下落过程中的最大速度υm为
    mgr
    4π2B2R2
    ．
        （2）第一次与水平面碰后上升到最高点的过程中通过线圈某一截面的电量q为
    m2gr
    8π2B3R3
    -
    mgt
    2πBR
    ．
        （3）线圈从第一次到第二次与水平面相碰的过程中产生的焦耳热Q为
    m2g2r
    4π2B2R2
    (t1+t2)    -
    1
    2
    mg2(t1+t2)2    ．
    点评：本题是电磁感应问题，难点是采用积分法求解非匀变速运动的速度和高度，从牛顿第二定律入手，采取微元法，得到一段微小时间△t内速度的变化量和高度变化量，再积分．难度较大，考查运用数学知识处理物理问题的能力．
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    （1）离子在磁场中运动的轨迹半径
    （2）当
    mvBq
    =a时，与x轴成30°角射出的离子从P点到达R点的时间．
    （3）试推出在x＞0的区域中磁场的边界点坐标x和y满足的关系式．（没有问题，最多改为“x、y满足的关系式”）

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