Question

10．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=2m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板，已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（2）若长木板长度L=2.4m，小物块能否滑出长木板？

Answer 1

分析 （1）小物块从A点抛出做平抛运动，将C点的速度进行分解，求出物块到达C点的速度，对C到D的过程，运用动能定理求出物块到达D点的速度，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力．
（2）当小物块刚好不从长木板滑出时，与木板具有相同的速度，根据动量守恒定律求出共同的速度，因为摩擦力与相对路程的乘积等于产生的热量，结合能量守恒定律求出木板的最小长度，从而作出判断．

解答 解：（1）物块到达C点的速度与水平方向的夹角为60°，根据平行四边形定则知：
  v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀=4m/s
小物块由C到D的过程中，由动能定理得：mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s
小球在D点时，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=60N     
由牛顿第三定律得：N′=N=60N，方向竖直向下    
（2）设小物块始终在长木板上，当达到共同速度时大小为v，
小物块在木板上滑行的过程中，取向左为正方向，由动量守恒定律得
   mv₀=（M+m）v
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s
设物块在木板相对位移l，由功能关系得 μmgl=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$
解得：l=2.5m＞L=2.4m
所以小物块滑出长木板．
答：
（1）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小为60N，方向竖直向下；
（2）若长木板长度L=2.4m，小物块能滑出长木板．

点评 本题的关键是要理清物块的运动过程，把握每个过程之间的联系，如速度关系，选择恰当的规律进行研究．要注意摩擦生热与相对位移有关．