Question

19．“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂；地球与月球均视为球体，其半径分别为R₁、R₂；地球表面重力加速度为g．则（　　）

• A． 月球表面的重力加速度为$\frac{{G}_{1}g}{{G}_{2}}$
• B． 月球与地球的质量之比为$\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$
• C． 月球卫星与地球卫星分别绕月球表面与地球表面运行的速率之比为$\sqrt{\frac{{G}_{1}{G}_{1}}{{G}_{2}{R}_{2}}}$
• D． “嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为$2π\sqrt{\frac{{{G_1}{R_2}}}{{{G_2}g}}}$

Answer 1

分析 探测器在月球和地球上质量不变，求出在地球质量，即能求出在月球的重力加速度，根据重力等于万有引力求质量，根据公式v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$求第一宇宙速度，根据周期公式T=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$求周期

解答 解：A、“玉兔号”的质量$m=\frac{{G}_{1}^{\;}}{g}$，月球表面的重力加速度 ${g}_{2}^{\;}$=$\frac{{G}_{2}^{\;}}{m}$=$\frac{{G}_{2}^{\;}g}{{G}_{1}^{\;}}$，故A错误．
B、根据mg=G $\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得M=$\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，$\frac{{M}_{月}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}{{g}_{地}^{\;}{R}_{地}^{2}}=\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{2}}$故B正确．
C、根据v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$，$\frac{{v}_{月}^{\;}}{{v}_{地}^{\;}}=\frac{\sqrt{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{\;}}}{\sqrt{{g}_{地}^{\;}{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{1}^{\;}{R}_{1}^{\;}}}$，故C错误．
D、根据周期公式T=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM}}$，根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得$GM=g{R}_{\;}^{2}$，所以嫦娥三号绕月球表面匀速圆周运动的周期$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{月}^{3}}{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{{R}_{月}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}{R}_{月}^{\;}}}=2π\sqrt{\frac{{G}_{1}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{G}_{2}^{\;}g}}$，故D正确；
故选：BD

点评 本题考查了万有引力定律在天文学上的应用，解题的基本规律是万有引力提供向心力，在任一星球表面重力等于万有引力，记住第一宇宙速度公式．