Question

2．光滑水平面上两个质量相等的小球A、B相距L，两球初速度均为零，A球在水平向右的恒力作用下以加速度a正对B球方向做匀加速直线运动，已知两球正面碰撞后彼此交换速度，A碰撞前后加速度不变，B撞断撞前后加速度均为零，第5次碰撞点与A的出发点间距为41L，第79次碰撞后B的速度大小为$79\sqrt{2aL}$．

Answer 1

分析 第一次碰撞时A速度由${v}_{1}^{2}=2aL$求得，碰后A的速度为0，B做速度为v₁的匀速运动，当第二次碰前A速度为2v₁，则碰后B的速度为2v₁，A的速度为v₁；第三次碰前A的速度为3v₁．则碰后B的速度为3v₁，A的速度为2v₁，第四次碰前A的速度为4v₁，碰后B的速度为4v₁，A的速度为3v₁，可推出第n次碰后，B的速度为nv₁，A的速度为（n-1）v₁

解答 解：第一次碰撞时A速度由：${v}_{1}^{2}=2aL$ 
得${v}_{1}=\sqrt{2aL}$ 
则碰后B的速度为：
${v}_{1}=\sqrt{2aL}$
碰后A的速度为0；
第二次碰撞满足：$\frac{1}{2}a{t}^{2}={v}_{1}t$
解得t=$\frac{2{v}_{1}}{a}$
所以第二次碰撞前A的速度为$at=a\frac{2{v}_{1}}{a}=2{v}_{1}$
由此可以推断第n次碰撞前A的速度为nv₁
所以第5次碰撞点据A出发点的距离x=x_B+L
又${x}_{B}=（{v}_{1}+2{v}_{1}+3{v}_{1}+4{v}_{1}）×\frac{2{v}_{1}}{a}$
所以$x=\frac{20{v}_{1}^{2}}{a}$+L=41L
第79次碰撞后B的速度即为碰撞前A的速度，据第n次碰撞前A的速度为nv₁，可得此时B的速度
${v}_{B}=79{v}_{1}=79\sqrt{2aL}$
故答案为：41L，$79\sqrt{2aL}$．

点评 考查速度位移公式，明确v²=2aL．注意逻辑推理后面的碰撞，要细心找出碰撞规律是解决问题的关键．