Question

13．质量为2kg的物体A，以v₀=2m/s的速度从固定的车周围的光滑圆弧轨道顶点滑下，圆弧的半径R是0.6m，质量为6kg的小车B在光滑水平地面上，紧靠圆弧轨道末端且与之等高．A滑到小车B上离车左端$\frac{1}{3}$车长处，与小车以共同速度一起运动，到右边小车与竖直墙壁发生无机械能损失的碰撞．A、B之间的动摩擦因素μ=0.2，A的长度忽略不计，g取10m/s²．求
（1）A、B向右运动的共同速度；
（2）小车与墙碰撞后，A相对于地面向右运动的最大距离S；
（3）小车与墙碰后到A相对小车静止所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）物体A滑到底部前，只有重力做功，机械能守恒，重力势能的减小量等于动能的增加量，根据机械能守恒定律列式求出滑块的速度；A与B一起向右运动的过程中水平方向的动量守恒，由此得出共同的速度．
（2）小车与墙壁碰撞后，小车向左做减速运动，物体A向右做减速运动，当滑块的速度为0时，A相对于地面向右运动的位移最大，由导出公式即可求出此位移；
（3）小车与墙碰撞后物体A与小车B组成的系统的动量重新守恒，根据动量守恒定律即可求出二者的共同的速度；结合运动学的公式与牛顿第二定律即可求出时间．

解答 解：（1）物体A滑到底部前，只有重力做功，机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR$
所以：${v}_{1}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gR}=\sqrt{{2}^{2}+2×10×0.6}=4$m/s
A与B一起向右运动的过程中水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，设共同的速度为v₂，得：mv₁=（m+M）v₂
得：${v}_{2}=\frac{m{v}_{1}}{m+M}=\frac{2×4}{2+6}=1$m/s
（2）小车与墙壁碰撞后，物体向右做减速运动，当物体的速度为0时，物体A相对于地面向右运动的位移最大．物体的加速度：
a=$-\frac{f}{m}=-\frac{μmg}{m}=-μg=-0.2×10=-2$m/s²
当物体的速度为0时的物体向右的位移最大，由$2aS=0-{v}_{2}^{2}$得：$S=\frac{0-{v}_{2}^{2}}{2a}=\frac{0-{1}^{2}}{-2×2}=0.25$m
（3）小车与墙壁碰撞后，由于没有能量损失，小车以原速度的大小返回，返回的过程中，小车与物体在水平方向的动量守恒，设后来共同速度为v₃，则：
mv₂-Mv₂=（m+M）v₃
所以：${v}_{3}=\frac{m{v}_{2}-M{v}_{2}}{m+M}=\frac{2×1-6×1}{2+6}=-0.5$m/s
负号表示速度的方向向左，与选定的正方向相反．
小车与墙碰后到A相对小车静止所经历的时间：$t=\frac{△v}{a}=\frac{{v}_{3}-{v}_{2}}{a}=\frac{-0.5-1}{-2}=0.75$s
答：（1）A、B向右运动的共同速度是1m/s；
（2）小车与墙碰撞后，A相对于地面向右运动的最大距离是0.25m；
（3）小车与墙碰后到A相对小车静止所经历的时间是0.75s．

点评 本题关键明确物体A与小车B的运动规律，会运用动量守恒定律列式求解共同速度，知道物体A的相对于地面的速度为0时，物体A向右的位移最大．