Question

搭载有“勇气”号火星车的美国探测器，在经过了206个昼夜长达4亿8千万公里的漫长星际旅行后，于北京时间2004年1月4日12时35分终于成功登陆火星表面．“勇气”号离火星表面15m时与降落伞自动脱离，被众气囊包裹的“勇气”号下落到火星表面后又反弹到16.2m高处，这样上下碰撞了若干次后，才静止在火星表面上，假设被众气囊包裹的“勇气”号第一次碰撞火星表面时，其机械能损失为其碰撞前机械能的19%，已知火星半径为地球半径的二分之一，质量为地球的九分之一，火星大气十分稀薄，可不计其阻力．取地球表面的重力加速度为10m/s²，试求：
（1）火星表面的重力加速度是多少？
（2）“勇气”号在15m高处与降落伞自动脱离的速度是多少？
（3）若“勇气”号和气囊的总质量为270kg，设其与火星表面第一次碰撞时气囊和火星表面的接触时间为0.38s，求“勇气”号的气囊与火星表面碰撞时所受到的平均冲力．

Answer 1

分析：（1）在星球表面处重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根据火星与地球的质量比和半径比，计算可得它们的表面重力加速度之比，从而可知火星表面的重力加速度．
（2）被众气囊包裹的“勇气”号下降过程和上升过程均是只受重力，机械能守恒，根据能量关系列式求解；
（3）设探测器与火星碰前瞬间的速度为v₁，反弹的速度为v₂，根据动量定理列式求解．

解答：解：（1）在星球表面处重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，
可得

g火

g地

=

M火 R 2 地

M地 R 2 火

=

4

9

，
g_火=

4

9

g_地=

40

9

m/s²=4.4m/s²．
（2）被众气囊包裹的“勇气”号下降过程和上升过程均是只受重力，机械能守恒，故：
1-19%=

mgh2

1 2 mv2+mgh1

故v=

2g(h2-0.81h1) 0.81

=

2×4.4×(16.2-0.81×15) 0.81

=3.3m/s
（3）设探测器与火星碰前瞬间的速度为v₁，反弹的速度为v₂，根据机械能守恒定律，有：
mgh1+

1

2

m

v

2

=

1

2

m

v

2 1

mgh2=

1

2

m

v

2 2

故v₁=

v2+2gh1

=

3．32+2×4.4×15

=12m/s
v₂=

2gh2

=

2×4.4×16.2

=11.9m/s
以向下为正方向，根据动量定理，有：
（G-F）t=m（-v₂）-mv₁
解得：F=m

v1+v2

t

+mg=270×

11.9+12

0.38

+270×4.4=1.82×10⁴N
答：（1）火星表面的重力加速度是4.4m/s²；
（2）“勇气”号在15m高处与降落伞自动脱离的速度是3.3m/s；
（3）“勇气”号的气囊与火星表面碰撞时所受到的平均冲力为1.82×10⁴N．

点评：本题把天体运动和运动学公式以及能量、动量关系结合力起来，题型新颖，对综合能力要求较高，有一定的难度．