Question

（2004?扬州一模）搭载有“勇气”号火星车的美国火星探测器，于北京时间2003年6月11日凌晨1时58分成功升空，经过了206个昼夜长达4亿8千万公里漫长的星际旅行，于北京时间2004年1月4日12时35分“勇气”号火星车终于成功登陆在火星表面．
“勇气”号离火星地面12m时与降落伞自动脱离，被众气囊包裹的“勇气”号下落到地面后又弹跳到15m高处，这样上下碰撞了若干次后，才静止在火星表面上．已知火星的半径为地球半径的二分之一，质量为地球的九分之一（取地球表面的重力加速度为10m/s²，计算结果均取二位有效数字）．
（1）根据上述数据，火星表面的重力加速度是多少？
（2）若被众气囊包裹的“勇气”号第一次碰火星地面时，其机械能损失为其12m高处机械能的10%，不计空气的阻力，求“勇气”号在12m高处的速度．
（3）已知“勇气”号和气囊的总质量为200㎏，设与地面第一次碰撞时气囊和地面的接触时间为0.4s，求“勇气”号和气囊与火星碰撞时所受到的平均冲力．

Answer 1

分析：（1）在星球表面处重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根据火星与地球的质量比和半径比，计算可得它们的表面重力加速度之比，从而可知火星表面的重力加速度．
（2）设探测器在12m高处向下的速度为v₀，则根据能量关系

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)，代入数据，计算可解得“勇气”号在12m高处的速度v₀．
（3）设探测器与火星碰前瞬间的速度为v₁，反弹的速度为v₂，根据匀变速运动的位于与速度的关系公式有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1和

v

2 2

=2g火h2．
对探测器由动量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁），解以上各式，可得碰撞时所受到的平均冲力F．

解答：解：（1）在星球表面处重力等于万有引力

GMm

R2

=mg，
可得

g火

g地

=

M火 R 2 地

M地 R 2 火

=

4

9

，
g火=

4

9

g地=

40

9

m/s2=4.44m/s²．
（2）设探测器在12m高处向下的速度为v₀，则根据能量关系有

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)
代入数据，解得v₀=6.5m/s 
（3）设探测器与火星碰前瞬间的速度为v₁，反弹的速度为v₂，则根据匀变速运动的规律有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1

v

2 2

=2g火h2
规定向上为正，对探测器由动量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁）
解以上各式，得 F=1.3×10⁴N  
答：（1）火星表面的重力加速度是4.44m/s²．
（2）若被众气囊包裹的“勇气”号第一次碰火星地面时，其机械能损失为其12m高处机械能的10%，不计空气的阻力，则“勇气”号在12m高处的速度为=6.5m/s．
（3）已知“勇气”号和气囊的总质量为200㎏，设与地面第一次碰撞时气囊和地面的接触时间为0.4s，则“勇气”号和气囊与火星碰撞时所受到的平均冲力为1.3×10⁴N．

点评：本题把天体运动和运动学公式以及能量、动量关系结合力起来，题型新颖，对综合能力要求较高，有一定的难度．