Question

阅读以下有关加速器的文章完成文中问题（问题以加粗字体标记）。

相关知识背景：

电子伏特，符号为eV，是能量的单位。代表一个电子经过1伏特的电势差加速后所获得的动能。在微观领域，一般使用电子伏特作为能量单位。电子伏特与SI制的能量单位焦耳（J）的换算关系是单位换算：1eV=1.6×10-19J    1MeV=1×106 eV

a粒子即为氦原子核    

科学家在研究原子核的结构时，采用了高速运动的亚原子粒子去轰击原子核．早在1906年，卢瑟福就利用放射性物质释放的高速α粒子来轰击物质．1919年他成功地从氮原子核中打出了质子，使氮原子核变成氧原子核．然而使用天然产生的α粒子作为轰击物，有很大的局限性．带正电的α粒子与带正电的原子核相互排斥，要消耗很大的能量；而天然产生的带电粒子的能量是有限的．为了得到更高能量的带电粒子，物理学家们开始尝试设计一种产生高能量带电粒子的实验设备——加速器．我们知道电场可以使带电粒子加速，增加带电粒子的能量。

（1）如图所示，这就是早期的加速器的原理。若设该加速器两板间电压为1000V，两板间距为20厘米，求一初速度可忽略不计的α粒子通过该加速器所获得的能量？

这种加速器可以通过增加电极间的电压来提高粒子加速的能量，但这种加速器的发展受到高压绝缘的限制。（电压太大，电介质会被击穿）。

因此，人们就想利用较低的电压，采用多级加速使粒子加速到高能量，如图甲所示。N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶,它们沿轴线排列成一串,如图所示(图中只画出了六个圆筒,作为示意)。各筒和靶相间地连接到如图乙所示周期为T、电压值为U0的高频方波电源的两端。整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔。带电粒子沿轴线射入圆筒,并将在圆筒间及圆筒与靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场)。缝隙的宽度很小，粒子穿过缝隙的时间可以不计。

（2）为使初动能为2U0e、质量为mα的α粒子打到靶时获得最大能量,各个圆筒的长度应满足什么条件?

（3）在满足第（2）问条件的前提下，若用该加速器加速一初动能为2U0e的α粒子，求α粒子进入第k个圆筒前与进入第n个圆筒前的速率之比vk:vn。（k和n均为自然数）

（4）若该加速器的电压U0=1×105V，T=0.002s用该加速器加速一初动能2×105eV的α粒子，为使粒子获得40MeV以上的动能，则该加速器的长度至少为多大？（可以用数列形式表示）α粒子质量为mα≈3600MeV/c²（c指光速）

通过刚才的计算我们可以看到，要想达到越来越高的能量，就必须使设备的长度增加到数十甚至数百英里的长度，从而因为经济效益的原因变的不实用。

1931年，加利福尼亚大学的欧内斯特·O·劳伦斯（Ernest O.Lawrence）提出了一个卓越的思想，通过磁场的作用迫使粒子沿着磁极之间作螺旋线运动，把电极像卷尺那样卷起来，这样就可以在有限的场地装设比原来长许多倍的电极，他把这种设备叫作“回旋加速器”。

回旋加速器主要由圆柱形磁极、D形盒、高频交变电源、粒子源和引出装置组成，如图所示．其中D形盒装在真空室中，是回旋加速器的核心部件，整个真空室放在磁极之间，磁场方向垂直于D形盒，两个D形盒之间留一个窄缝，分别与高频电源的两极相连．当粒子经过D形盒之间的窄缝，得到高频电源的加速，在D形盒之间，由于屏蔽作用，盒内只有磁场分布，这样带电粒子在D形盒内沿螺线轨道运动，达到预期的速率后，用引出装置引出。

如图所示：若D形盒的半径为R，离子源放出质量为m、带电量为q的正离子，磁感应强度大小为B，求：

（5）加在D形盒间的高频电源的频率。（用字母表示）

（6）从静电偏转板（如图所示）出去的离子所具有的能量。（用字母表示）

（7）若被回旋加速器加速的粒子为初速度可忽略不计的α粒子，若：

α粒子质量为mα≈3600MeV/c²（c指光速）， D形盒中的磁感应强度为1T，为使粒子获得40MeV以上的动能，则D形盒的半径R至少为多大？

两相比较，我们发现加速到相同的动能，劳伦斯的回旋加速器的占地面积远小于多级加速器，所以，回旋加速器的出现，使科学家们在实验室中获得高能粒子的愿望得以实现。

40年代以后，物理学家用劳伦斯创造的加速器发现了许多新型核反应，观察到几百种前所未闻的同位素．在实施制造原子弹的曼哈顿工程时，劳伦斯用他的加速器分离出仅占铀的总量0.7% 的铀235，为发明原子弹立下了汗马功劳。

因为发明回旋加速器，劳伦斯获1939年诺贝尔物理学奖。

带电粒子加速器自1930年前后问世以来，主要是朝更高能量的方向发展，在劳伦斯之后，科学家们设计制造了各种类型的新型加速器，如同步加速器、电子感应加速器，对撞机等。任何一种加速器都经历了发生、发展和加速能力或经济效益受到限制的三个阶段。在第三个阶段中，总会出现新技术或新原理突破困难，从而建造出新类型的加速器，使能量进一步提高，或使建造更高能量加速器在经济上成为可行。

Answer 1

【答案】（1）；  （2）   （3）；

（4）；

（5）；    （6）；    （7）。

【解析】

（1）粒子在电场中加速，由动能定理得：，

则α粒子获得的能量：；

（2）粒子在圆筒内做匀速直线运动，当运动的时间等于交流电变化周期的一半时，即为一直处于加速状态，则有：；

由题意，缝隙的宽度很小，粒子穿过缝隙的时间可以不计，所以粒子在圆筒内运动的时间就是

粒子的初动能是2eU0则初速度：

第一个圆筒的长度就是粒子在第一个圆筒内的位移：

粒子穿过第一个圆筒后的动能：；

粒子穿过第一个圆筒后的速度：

第二个圆筒的长度：

…

粒子穿过第n-1个圆筒后的动能：

 ①

粒子穿过第n-1个圆筒后的速度：     ②

第n个圆筒的长度：；      ③

（3）由②可得α粒子进入第k个圆筒前的速度是从第k-1个圆筒中出来的速度，它与进入第n个圆筒前的速率之比；

（4）设粒子需要穿过n个圆筒，则由①式，穿过n个圆筒后粒子的动能：

由于粒子的初动能是2eU0则：

所以：；

圆筒的总长度：

代入数据解得：；

（5）使正离子每经过窄缝都被加速，交变电压的频率应等于离子做圆周运动的频率，正离子在磁场中做匀速圆周运动，

洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，

得周期：，频率：；

（6）由牛顿第二定律得：，解得：，

当离子从D盒边缘离开时，轨道半径r最大为R，

此时粒子速度最大，最大速度：，

离子获得的最大动能：；

（7）粒子的最大动能：，

则。

【考点】带电粒子在匀强电场中的运动；带电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律