Question

10．如图1所示，在光滑绝缘的水平面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E=1.0×10⁵N/C．水平面上放置两个静止的小球A和B（均可看作质点），两小球质量均为m=0.10kg，A球带电量为Q=+1.0×10^-5C，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L=5.0cm，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失，碰后两球交换速度．设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力．求：

（1）第一次碰撞结束瞬间B球的速度为多大？从A球开始运动到发生第一次碰撞所经历的时间是多少？
（2）分别在如图2的坐标系中，用实线作出A、B两球从计时零点开始到即将发生第三次碰撞这段时间内的v-t图象．要求写出必要的演算推理过程．
（3）从计时零点开始到即将发生第三次碰撞的这段时间内，电场力共做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和运动学公式求出．
（2）碰撞后A、B两球交换速度，A球先做匀加速直线运动，碰撞后速度为零，又开始做匀加速直线运动，与B球碰撞后交换速度，以B球的速度做匀加速直线运动．
对于B球，开始静止，碰撞后交换速度，交换速度后做匀速直线运动．
（3）通过牛顿定律结合运动学公式求出第三次碰撞后A、B的速度，结合能量守恒求出电场力做的功．

解答 解：（1）A球的加速度为a=$\frac{QE}{m}$=10 m/s²
第一次碰撞前A的速度为v_A=$\sqrt{2aL}$=1 m/s
第一次碰撞后A的速度为v_A′=0
第一次碰撞后B的速度为v_B1′=v_A1=1 m/s
从开始计时到第一次碰撞时间为t₁=$\frac{{v}_{A1}}{a}$=0.1 s
（2）第一次碰撞后，A球做初速度为0、加速度为a的匀加速运动，B球做速度为v_B1′的匀速直线运动．设在t₂时刻发生第二次碰撞，由两次碰撞之间两球位移相等得
v_B1′（t₂-t₁）=$\frac{1}{2}$a（t₂-t₁）² 
代入数据解得t₂=3t₁=0.3s
设第二次碰撞前时间A、B两球速度分别为v_A2和v_B2，则
v_A2=a（t₂-t₁）=2m/s     
v_B2=v_B1′=1m/s
设第二次碰撞后瞬间A、B两球速度分别为v_A2′和v_B2′，由碰撞后交换速度可得
v_A2′=v_B2′=1m/s        v_B2′=v_A2=2m/s
设t₃时刻发生第三次碰撞，由两球位移相等有
v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+$\frac{1}{2}$a（t₃-t₂）²
解得 t₃=0.5s
设第三次碰撞前瞬间A、B两球速度分别为v_A3和v_B3，则
v_A3=v_A2′+a（t₃-t₂）=3m/s     v_B3=v_B2′=2m/s
这段过程的υ-t图象如下图所示．

（3）从计时零点开始到即将发生第三次碰撞的这段过程中，电场力共做的功为
W=$\frac{1}{2}$mv_A3²+$\frac{1}{2}$mv_B3²=0.65J
答：（1）第一次碰撞结束瞬间B球的速度为1m/s，从A球开始运动到发生第一次碰撞所经历的时间是0.1s．
（2）分别在如图2的坐标系中，用实线作出A、B两球从计时零点开始到即将发生第三次碰撞这段时间内的v-t图象如图．
（3）从计时零点开始到即将发生第三次碰撞的这段时间内，电场力共做了0.65J的功．

点评 解决本题的关键知道质量相等的小球发生弹性碰撞，速度交换，以及知道两球在整个过程中的运动情况，找出规律，结合牛顿第二定律、能量守恒定律和运动学公式进行求解．