Question

4．如图所示，在y＞0的区城内分布着电场方向与x轴成45°的匀强电场，在y＜0的区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，质子从A点以初速度v=2.0×10⁵m/s沿x轴正向发射，第一次经过x轴时，质子的速度刚好与电场方向相反，运动至y轴上的P点（0，10cm）时，质子的速度恰好减为零，若质子的质量m=1.6×10^-27kg，电荷量q=1.6×10^-19C，π=3.14，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小及匀强电场的电场强度E的大小；
（2）质子从开始运动到第三次到达x轴所经历的时间（结果保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系得到轨道半径，利用洛伦兹力等于向心力列式，联立求解得到磁感应强度；进入电场后做匀变速直线运动，根据动能定理列式求解电场强度；
（2）第二次进入磁场后依然做匀速圆周运动，画出轨迹，结合几何关系确定圆心角，根据t=$\frac{θ}{2π}T$求解磁场中的运动时间，在电场中运动时间根据运动学公式求解．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图：

结合几何关系，有：
R=$\sqrt{2}$x=10$\sqrt{2}$cm=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m
根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
B=$\frac{mv}{qR}$=$\frac{1.6×1{0}^{-27}×2×1{0}^{5}}{1.6×1{0}^{-19}×\frac{\sqrt{2}}{10}}$T=1.4×10^-2T
在电场中做匀变速直线运动，故：
-qE（$\sqrt{2}$x）=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$E=\frac{{m{v^2}}}{{2\sqrt{2}qx}}=\frac{{1.6×1{0^{-27}}×（2×1{0^5}{）^2}}}{{2\sqrt{2}×1.6×1{0^{-19}}×0.1}}=1.4×{10^3}$N/C
（2）磁场中两个轨迹的圆心角之和为：
θ=135°+90°=225°
故磁场中的运动时间为：
$t=\frac{225°}{360°}T$=$\frac{5}{8}T$=$\frac{5}{8}×\frac{2πm}{qB}=\frac{5}{8}×\frac{{2π×1.6×1{0^{-27}}}}{{1.6×1{0^{-19}}×1.4×1{0^{-2}}}}=2.8×{10^{-6}}s$
在电场中做匀变速直线运动，时间为：
t′=$\frac{2（\sqrt{2}x）}{\frac{v}{2}}=\frac{4\sqrt{2}x}{v}$=$\frac{4\sqrt{2}×0.1}{2×1{0}^{5}}$s=2.8×10^-6s
故质子从开始运动到第三次到达x轴所经历的时间：
t_总=t+t′=2.8×10^-6s+2.8×10^-6s=5.6×10^-6s
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小为1.4×10^-2T，匀强电场的电场强度E的大小为1.4×10³TN/C；
（2）质子从开始运动到第三次到达x轴所经历的时间为5.6×10^-6s．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，分匀速圆周运动和匀变速直线运动过程进行研究，关键是画出轨迹，结合几何关系、牛顿第二定律、动能定理和运动学公式列式分析．