Question

17．太空中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则（　　）

• A． 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
• B． 此三星系统的运动周期为T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
• C． 三角形三星系统中星体间的距离为L=$\root{3}{\frac{12R}{5}}$
• D． 三角形三星系统的线速度大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{5GM}{R}}$

Answer 1

分析 明确研究对象，对研究对象受力分析，找到做圆周运动所需向心力的来源，结合牛顿第二定律列式分析．

解答 解：A、直线三星系统中甲星和丙星绕着乙星做匀速圆周运动，由于质量都相等，故直线三星系统中甲星和丙星的线速度相等，但方向相反，不是相同，故A错误；
B、三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；
其中边上的一颗星受中央星和另一颗边上星的万有引力提供向心力．
$\frac{{G{m^2}}}{R^2}+\frac{{G{m^2}}}{{{{（2R）}^2}}}=m\frac{v^2}{R}$
解之得：$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
$T=\frac{2πR}{v}=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
故B正确；
CD、另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，

由万有引力定律和牛顿第二定律得：$2\frac{{G{m^2}}}{L^2}cos30°=m\frac{L}{2cos30°}（\frac{2π}{T}{）^2}$
由于两种系统的运动周期相同，即$T=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
故解得：$L=\root{3}{{\frac{12}{5}}}R$．
所以$v=\frac{2π}{T}（\frac{L}{2cos30°}）=\root{3}{{\frac{12}{5}}}•\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5GM}{R}}$，故C正确，D错误；
故选：BC

点评 万有引力定律和牛顿第二定律是力学的重点，在本题中有些同学找不出什么力提供向心力，关键在于进行正确受力分析．