Question

12．如图所示，固定的光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道BCD平滑相接，轨道皆绝缘，B、D为最低点和最高点，C与圆心等高，B、C、D处设有开关，可改变电场方向．有一质量为m、带电量为+q的小球，在水平轨道上的A点由静止释放，起初空间有水平向右的匀强电场，场强E=$\frac{mg}{q}$，当小球运动通过每一个开关时电场将保持场强大小不变，而方向向逆时针旋转90°．
（1）欲使小球能到达D点，求释放点A与B间距离的最小值；
（2）若在A点释放小球，刚好能到达D点，求小球从D点飞出后落地点到B的距离．

Answer 1

分析 （1）小球刚好能到达D点时速度AB段的位移最小，在D点根据牛顿第二定律求的速度，从A到D由动能定理即可求得AB间的距离；
（2）小球从D点做类平抛运动，根据竖直方向匀加速，水平方向匀速即可求得

解答 解：（1）小球刚好能通过D点
在D点由牛顿第二定律可得mg=$\frac{{mv}_{D}^{2}}{R}$
从A到D由动能定理可得$qEL+qER+qER=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-0$
联立解得$L=\frac{5}{2}R$，${v}_{D}=\sqrt{gR}$
（2）通过D点后，电场变为竖直向下，小球在水平方向匀速运动，竖直方向匀加速运动则
竖直方向由牛顿第二定律可得qE+mg=ma
解得a=2g
下落的时间为t，则$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
水平方向的位移x=${v}_{D}t=\sqrt{2}R$
答：（1）欲使小球能到达D点，释放点A与B间距离的最小值为$\frac{5}{2}R$；
（2）若在A点释放小球，刚好能到达D点，小球从D点飞出后落地点到B的距离为$\sqrt{2}R$

点评 本题是向心力与动能定理等知识的综合，关键要抓住物块恰能通过最高点C的临界条件，求出临界速度