Question

13．我国“嫦娥二号”卫星于2010年10月1日在西昌卫星发生中心发射升空，并于2010年10月6日上午被月球捕获，成功进入环月轨道．假设“嫦娥二号”卫星绕月球做匀速圆周运动的周期为T，月球的半径为R，月球表面的重力加速度g_月，引力常量为G，求：
（1）月球质量；
（2）探月卫星“嫦娥二号”离月球表面的高度；
（3）探月卫星“嫦娥二号”的运行速度．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求出月球的质量；
（2）（3）由万有引力提供向心力即可求出“嫦娥二号”离月球表面的高度和线速度．

解答 解：（1）在月球的表面：mg_月=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
所以：M=$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$
（2）卫星的周期为T，由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{4{π}^{2}m（R+h）}{{T}^{2}}$
所以：h=$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+h}$
所以：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$
答：（1）月球质量$\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{G}$；
（2）探月卫星“嫦娥二号”离月球表面的高度$\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）探月卫星“嫦娥二号”的运行速度$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{\root{3}{\frac{{g}_{月}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}}}$．

点评 该题考查卫星的线速度、周期之间的关系，解决本题的关键掌握线速度与周期的关系，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用．