Question

20．如图所示，MN为竖直直径，光滑圆弧的半径R=0.8m．现将质量为m=0.2kg的物块（可视为质点）从桌面边缘的D点以2m/s的速度水平抛出，恰好由P点无碰撞地落入圆弧轨道，g=10m/s²．求：
（1）P点到桌面边缘的竖直高度h和水平距离s；
（2）物块到达最低点N时对N点的压力．

Answer 1

分析 （1）对物块运动到P点时的速度进行正交分解，分别沿水平方向和竖直方向进行分解，利用平抛运动的知识即可求得P点到桌面边缘的竖直高度h和水平距离s．
（2）物体运动到P点时没有能量的损失，整个过程中机械能守恒，先利用机械能的守恒求得经过 点时的速度，由圆周运动的知识即可求得此时对N点的压力．

解答 解：（1）有题意可知，物块运动到P点时，速度沿切线方向，对其沿竖直方向和水平方向正交分解，有：
水平方向有：v₁=vcos60°
竖直方向有：v₂=vsin60°
解得：v=4m/s
v₂=2$\sqrt{3}$m/s
则竖直高度为：h=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}}{2×10}$=0.6m
水平位移为：s=v₁t=v₁$\frac{{v}_{2}}{g}$=2×$\frac{2\sqrt{3}}{10}$=0.69m
（2）因在P点，没有碰撞，所以从D点抛出到N点的过程中，机械能守恒，选N点所在的平面为零势能面，物块在N点的速度为v_N，有：
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$+mg（h+R-Rcos60°）=$\frac{1}{2}{mV}_{N}^{2}$
代入数据解得：v_N=$2\sqrt{6}$m/s
设物块受到的支持力为N，由合力提供向心力有：
N-mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
代入数据解得：N=8N
由牛顿第三定律，物块对N的压力为：N′=N=8N
答：（1）P点到桌面边缘的竖直高度为0.6m，水平距离为0.69m；
（2）物块到达最低点N时对N点的压力为8N．

点评 该题考查到了机械能守恒，平抛运动及向心力的相关问题．解题时首先要明确机械能守恒的条件，系统内只有重力和弹力做功时机械能守恒．对于圆周运动，向心力的分析是重点，沿半径方向上的所有力的合力提供向心力，平时要熟记公式F_向=ma=$m\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=m4π²f²R，根据题干所给的条件选择合适的式子列式求解．
该题还要注意牛顿第三定律的应用，不要漏掉．