Question

12．如图所示，半径未知的1/4光滑圆弧AB与倾角为30°的斜面在B点连接，B点的切线水平，斜面BC长为L，整个装置位于同一竖直面内．现让一个质量为m的小球从圆弧的端点A由静止释放，小球通过B点后恰好落在斜面底端C点处．不计空气阻力．
（1）求圆弧的轨道半径；
（2）若在圆弧最低点B处放置一块质量为m的胶泥后，小球仍从A点由静止释放，粘合后整体落在斜面上的某点D．若将胶泥换成2m重复上面的过程，求前后两次粘合体在斜面上的落点到斜面顶端的距离之比．

Answer 1

分析 （1）对A到B运动过程应用机械能守恒求得在B的速度，然后再根据B到C做平抛运动，由位移公式联立即可求得半径；
（2）根据动量守恒求得在B处的速度，然后根据平抛运动规律得到在斜面上的落点到斜面顶端的距离与在B处速度的关系，即可求得比值．

解答 解：（1）设圆弧半径为R，小球从A到B运动过程只有重力做功，故机械能守恒，则有$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$；
小球从B到C做平抛运动，故有：
$Lsin30°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$Lcos30°={v}_{B}t=\sqrt{2gR}•\sqrt{\frac{L}{g}}=\sqrt{2RL}$
解得：$R=\frac{3}{8}L$；
（2）小球碰前速度为：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
碰撞后，粘合在一起，故由动量守恒可得：与质量为m的胶泥碰后在B处的质量为2m，速度为$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$；
与质量为2m的胶泥碰后在B处的质量为3m，速度为$\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
物体从B水平抛出后做平抛运动落在BC上，设初速度为v，质量为M，那么由平抛运动规律有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=vt且$\frac{h}{x}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$解得：$h=\frac{2{v}^{2}}{3g}$；
所以，在斜面上的落点到斜面顶端的距离为：$\frac{h}{sin30°}=2h=\frac{4{v}^{2}}{3g}$；
那么，前后两次粘合体在斜面上的落点到斜面顶端的距离之比为$\frac{（\frac{\sqrt{2gR}}{2}）^{2}}{（\frac{\sqrt{2gR}}{3}）^{2}}=\frac{9}{4}$；
答：（1）圆弧的轨道半径为$\frac{3}{8}L$；
（2）若在圆弧最低点B处放置一块质量为m的胶泥后，小球仍从A点由静止释放，粘合后整体落在斜面上的某点D．若将胶泥换成2m重复上面的过程，那么前后两次粘合体在斜面上的落点到斜面顶端的距离之比为$\frac{9}{4}$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．