Question

有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成．如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．现在最低点A给一质量为m的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B点又能沿BFA回到A点，到达A点时对轨道的压力为4mg．求
（1）小球的初速度V₀
（2）由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：1、给小球一初速度后，小球沿AEB做圆周运动，小球恰好过最高点，故在最高点B处只受重力，由mg=

mvB2

R

解得小球在B点的速度vB=

gR

．解决该题关键在于此．然后有动能定理或机械能守衡定律解出v₀．
2、在最低点A、小球受到的支持力和重力的合力充当向心力．由此可以解出v_A．再由动能定理即可解出摩擦力作的功．

解答：解：（1）由于小球恰好到达B点，
故小球沿AEB到B点的速度是mg=

mvB2

R

，
解得：vB=

gR

由动能定理：

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

=-mg2R
解得：v0=

5gR

 
（2）由于回到A点时对轨道压力为4mg，对小球受力分析：小球受到竖直向下的重力mg和竖直向上的支持力4mg．支持力和重力的合力充当向心力．根据牛顿定律：
4mg-mg=

m v 2 A

R

，解得：vA=

3gR

；
小球由B经F回到A的过程中，
由动能定理：2mgR-Wf=

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 B

和vA=

3gR

，vB=

gR

三式联立解得：
W_f=mgR
答：（1）小球的初速度v0为

gR

；
   （2）由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功为mgR．

点评：该题为圆周运动和机械能的结合，只要掌握了相关知识，挖掘出题中的关键字句隐含的条件，运用圆周运动和机械能的知识即可解决．