Question

有一个固定竖直放置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分组成．如图所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．现在最低点A给一质量为M的小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道恰好运动到最高点B，小球在B点又能沿BFA回到A点，到达A点时对轨道的压力为4mg．
 （1）在求小球在A点的速度v0时，甲同学的解法是：由于小球恰好到达B点，故在B点小球的速度为零，

1

2

m

v

2 0

=2mgR，所以v0=2

gR

．
（2）在求小球由BFA回到A点的速度时，乙同学的解法是：由于回到A点时对轨道的压力为4mg，故4mg=

m v 2 A

R

，所以vA=2

gR

． 你同意两位同学的解法吗？如果同意请说明理由；若不同意，请指出他们的错误之处，并求出结果．
（3）根据题中所描绘的物理过程，求小球由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）甲同学的解法是错误的，小球在最高点的临界速度不是零，靠重力提供向心力，求出临界速度，再根据动能定理求出小球在A点的初速度．
（2）乙同学的解法是错误的，在A点是竖直方向上的合力提供向心力，不是支持力提供向心力．根据牛顿第二定律求出回到A点的速度．
（3）对小球由B经F回到A的过程中运用动能定理求出小球由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功．

解答：解：不同意，两位同学的解法都错误，甲同学认为最高点的临界速度为零，实际上在最高点的临界情况是弹力为零，靠重力提供向心力，有最小速度．乙同学认为在最低点是支持力提供向心力，实际上时竖直方向上的合力提供向心力．
（1）小球恰好到达B点，在B点小球的速度不为零．
小球由AEB到B点的速度时mg=m

vB2

R

，vB=

gR

由动能定理

1

2

mvB2-

1

2

mv02=-mg?2R，得v0=

5gR

．
（2）由于回到A点时对轨道压力为4mg，小球受到的合力并不是4mg．
根据牛顿定律：4mg-mg=m

vA2

R

，vA=

3gR

．
（3）小球由B经F回到A的过程中，
由2mgR-Wf=

1

2

mvA2-

1

2

mgR和vA=

3gR

得W_f=mgR．
答：（1）小球在A点的速度为

5gR

．
（2）回到A点的速度为

3gR

．
（3）小球由B经F回到A的过程中克服摩擦力所做的功为mgR．

点评：解决本题的关键掌握小球在内轨道运动最高点的临界情况，以及知道做圆周运动径向的合力提供向心力．