Question

10．山地滑雪是人们喜爱的一种体育运动，如图，滑雪坡由AB和BC组成，AB是倾角θ=37°的斜坡，BC是半径R=10m的圆弧面，圆弧面和斜面相切与B点，与水平面相切与C点，台阶CD的高度H=0.8m，与倾角也为37°的足够长斜坡DE相连，运动员（连同装备）从A点由静止滑下，通过C点后飞落到斜坡DE上，轨道摩擦和空气阻力都忽略不计，g取10m/s²，cos37°=0.8
（1）当h=3m时，求运动员滑到C点时的速度大小；
（2）接（1）小题，求运动员从C点飞出后落在斜坡上的位置（写出落点到D点的距离）；
（3）改变h，测得运动员在圆周最低点C处的支持力F_N与h的变化关系图如图乙所示，求在h=3m情况下运动员受到的支持力大小．

Answer 1

分析 （1）运动员从A→C的过程中，只有重力做功，机械能守恒，由此可求出运动员到达C点的速度大小．
（2）通过C点后飞落到DE上的过程做平抛运动，运用运动的分解法分别得到水平位移与竖直位移与时间的关系，由几何知识得到两个位移之间的关系，联立求解时间，再求落点到D点的距离．
（3）根据机械能守恒定律和牛顿第二定律结合，求在h=3m情况下运动员受到的支持力大小．

解答 解（1）运动员从A→C的过程，由机械能守恒定律得：
     mgh+mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv_C²     
解得：v_C=10m/s    
（3）运动员从C处平抛飞出，由平抛运动的规律得：
   水平方向：x=v_Ct
   竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²；
又由几何关系得：tan37°=$\frac{y-H}{x}$
解得：t=1.6s，（t=-0.1s舍去）
则 x=v_Ct=16m，y=$\frac{1}{2}$gt²=14.4m
所以落点到D点的距离 S=$\sqrt{{x}^{2}+（y-H）^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}+（14.4-0.8）^{2}}$≈21m
（3）在C点，由牛顿第二定律得
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得  F_N=mg+m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
又 机械能守恒定律得：
     mgh+mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}$mv_C²     
联立得 F_N=$\frac{2mg}{R}$h+1.4mg
由图知，h=0时，F_N=700N，即1.4mg=700N
则 m=50kg
所以当h=3m，代入上式解得 F_N=1000N
答：
（1）当h=3m时，求运动员滑到C点时的速度大小是10m/s．
（2）落点到D点的距离约为21m．
（3）在h=3m情况下运动员受到的支持力大小是100N．

点评 本题涉及两个运动过程，采用程序法分析和处理，是机械能守恒与平抛运动的综合应用．