Question

如图1所示，真空中存在电场强度E=1.5×10³V/m、方向竖直向上的匀强电场．在电场中固定有竖直面内的光滑绝缘轨道ABC，其中AB段水平，BC段是半径R=0.5m的半圆，直径BC竖直．有两个大小相同的金属小球1和2（均可视为质点），小球2的质量m₂=3×10^-2kg、电量q=+2×10^-4C，静止于B点；小球1的质量m₁=2×10^-2kg、不带电，在轨道上以初速度v₀=

5

2

5

m/s向右运动，与小球2发生弹性正碰，碰撞时间极短，取g=10m/s²，求：
（1）碰撞后瞬间小球2的速度v₂的大小
（2）小球2经过C点时，轨道对它的压力F_N的大小以及它第一次落到轨道AB上的位置距B点的距离x
（3）若只改变场强E的大小，为了保证小球2能沿轨道运动并通过C点，试确定场强E的取值范围；并在图2的坐标系中，画出小球2由B点沿轨道运动至C点的过程中，其电势能变化量△E_P与场强E的关系图象（画图时不必说明理由）

Answer 1

（1）设两小球碰撞后的速度速度分别为v₁、v₂，则
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
弹性碰撞，无机械能损失，故：

1

2

m1

v

20

=

1

2

m1

v

21

+

1

2

m2

v

22

解得：
v2=

2m1v0

m1+m2

=

2×2×10-2× 5 2 5

2×10-2+3×10-2

=2

5

m/s
（2）设小球2经过C点时速度为v₂′，由动能定理，有：
（

q

2

E-m2g)?2R=

1

2

m2

v′

22

-

1

2

m2

v

22

?2R=

1

2

m2

v′

22

-

1

2

m2

v

22

解得：
v2′=

10

m/s
又FN+m2g-

q

2

E=m2

v ′ 22

R

得：
FN=m2

v ′ 22

R

-m2g+

q

2

E=m2

v 22

R

-5m2g+

5

2

qE
代入数据得：
F_N=0.45N
小球2离开C点后做类平抛运动，加速度：
a=

m2g- 1 2 qE

m2

=

1

2

g=5m/s²
2R=

1

2

at2
解得：
t=

4R a

所以x=v′2t=

10

×

4×0.5 5

=2m
（3）在上述（2）中，令F_N≥0，即有
m2

v 22

R

-5m2g+

5

2

qE≥0
E≥

2m2(g- v 22 5R )

q

=

2×3×10-2×(10- 20 5×0.5 )

2×10-4

=600V/m
又由题设有：qE≤m₂g
E≤

m2g

q

=

3×10-2×10

2×10-4

=1.5×103V/m
故满足题目要求的场强E大小的取值范围是：
0.6×10³≤E≤1.5×10³V/m
电势能变化量△E与场强E的关系图象如图：
答：（1）碰撞后瞬间小球2的速度v₂的大小为2

5

m/s；
（2）小球2经过C点时，轨道对它的压力F_N的大小为0.45N，它第一次落到轨道AB上的位置距B点的距离x为2m；
（3）场强E的取值范围为：0.6×10³≤E≤1.5×10³V/m；
小球2由B点沿轨道运动至C点的过程中，其电势能变化量△E_P与场强E的关系图象如图所示．