Question

16．在直角坐标系xoy中，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B、方向垂直于xoy平面且指向纸面外，该区域的圆心坐标为（0，R），P₁，P₂分别为加速电场的正负两极板，P₁中央有一小孔，两极板都平行于x轴且正对放置，如图所示，一个质量为m、电荷量为q的负离子，由静止经电场加速后从点（$\frac{R}{2}$，0）沿y轴正方向射入第1象限，不计重力的影响．
（1）若离子射入磁场的入射点与射出磁场的出射点在该圆形磁场的同一直径上，求离子在该磁场区域经历的时间t₁和加速电场的加速电压U₁．
（2）若离子在磁场区域经历的时间t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，求加速电场的加速电压U₂．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出半径和转过的圆心角，根据洛伦兹力提供向心力求得速度，再根据动能定理即可求确定加速电压U₁，根据圆心角算出粒子在磁场中运动时间；
（2）离子在磁场区域经历的时间t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，作出粒子的运动轨迹，根据几何关系求出半径，根据向心力公式以及动能定理即可求解加速电压．

解答 解：（1）根据题意作出粒子的运动轨迹，如图所示，
其中O点为圆心，根据几何关系可知，AC=R，A到y轴的距离为$\frac{R}{2}$，则∠CAO=60°，
所以θ=30°，则圆周运动的半径r=2R，
根据洛伦兹力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\frac{2BqR}{m}$，
离子在加速电场的加速的过程，根据动能定理得：
${U}_{1}q=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${U}_{1}=\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$
圆心角为60°，
离子在匀强磁场中运动的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$，则离子在该磁场区域经历的时间t₁=$\frac{60°}{360°}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{3Bq}$，
（2）离子在磁场区域经历的时间t₂=$\frac{πm}{2Bq}$=$\frac{1}{4}T$，
所以离子在磁场中运动了$\frac{1}{4}$个圆，轨迹如图所示：

根据几何关系可知，半径r$′=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R$，
则根据洛伦兹力提供向心力得：
$Bqv′=m\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：v′=$\frac{Bq（\sqrt{3}+1）R}{2m}$，
离子在加速电场的加速的过程，根据动能定理得：
${U}_{2}q=\frac{1}{2}m{v′}^{2}$
解得：${U}_{2}=\frac{{B}^{2}q{（\sqrt{3}+1）^{2}R}^{2}}{8m}$
答：（1）离子在该磁场区域经历的时间t₁为$\frac{πm}{3Bq}$，加速电场的加速电压U₁为$\frac{2{B}^{2}q{R}^{2}}{m}$；
（2）若离子在磁场区域经历的时间t₂=$\frac{πm}{2Bq}$，则加速电场的加速电压U₂为$\frac{{B}^{2}q{{（\sqrt{3}+1）}^{2}R}^{2}}{8m}$．

点评 考查了带电离子在磁场中的运动，解题的关键是会根据题意画出粒子的运动轨迹，会定圆心、找半径，结合圆周运动求相关量，在电场中粒子做匀加速运动，能结合动能定理求解，难度较大．