Question

10．我国于2013年12月发射了“嫦娥三号”卫星，该卫星在距月球表面H处的环月轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，其运行的周期为T，随后“嫦娥三号”在该轨道上A点采取措施，降至近月点高度为h的椭圆轨道Ⅱ上，如图所示．若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量
（2）月球的第一宇宙速度
（3）“嫦娥三号”在图中椭圆轨道Ⅱ上的周期．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力求得中心天体月球的质量；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得月球的第一宇宙速度；
（3）根据开普勒第三定律求得在椭圆轨道上的周期．

解答 解：（1）由题意知，在轨道I上卫星运动时万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{（R+H）^{2}}=m（R+H）（\frac{2π}{T}）^{2}$
可得月球质量为：M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）第一宇宙速度是近月卫星的环绕速度，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得月球的第一宇宙速度为：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{2π}{RT}\sqrt{R（R+H）^{3}}$
（3）根据开普勒第三定律：在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的周期满足：
$\frac{{R}_{I}^{3}}{{T}_{I}^{2}}=\frac{{R}_{II}^{3}}{{T}_{II}^{2}}$
可得卫星在椭圆轨道上运动的周期为：
${T}_{II}=\sqrt{\frac{{R}_{II}^{3}}{{R}_{I}^{3}}}{T}_{I}$=$\sqrt{（\frac{\frac{2R+H+h}{2}}{R+H}}）^{3}T$=$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度为$\frac{2π}{RT}\sqrt{R（R+H）^{3}}$；
（3）“嫦娥三号”在图中椭圆轨道Ⅱ上的周期为$\sqrt{\frac{（2R+H+h）^{3}}{8（R+H）^{3}}}T$．

点评 万有引力提供圆周运动向心力与万有引力与重力相等，这是万有引力应用的主要解题入手点，掌握万有引力及向心力的不同表达式是正确解题的基础，不难属于基础题．