Question

如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，左端连着绝缘介质小球B，右端连在固定板上，放在光滑绝缘的水平面上．整个装置处在场强大小为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m、带电荷量为+q的小球A，从距B球为S处自由释放，并与B球发生碰撞．碰撞中无机械能损失，且A球的电荷量始终不变．已知B球的质量M=3m，B球被碰后作周期性运动，其运动周期T=2π

M k

（A、B小球均可视为质点）．
（1）求A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度V₁和B球的速度V₂；
（2）要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求劲度系数k的可能取值．

Answer 1

（1）设A球与B球碰撞前瞬间的速度为v₀，由动能定理得，qES=

1

2

m

v

20

                ①
解得：

v

0

=

2qES m

                      ②
碰撞过程中动量守恒得 m

v

0

=m

v

1

+M

v

2

      ③
机械能无损失，有  

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v

21

+

1

2

M

v

22

   ④
联立解得  

v

1

=-

1

2

2qES m

  （ 负号表示方向向左），

v

2

=

1

2

2qES m

，方向向右        
即A球与B球第一次碰撞后瞬间，A球的速度V₁大小为解得

1

2

2qES m

，方向向左；B球的速度V₂大小为

1

2

2qES m

，方向向右．
（2）要使m与M第二次迎面碰撞仍发生在原位置，则必有A球重新回到O处所用的时间t恰好等于B球周期的（n+

1

2

），即t=（n+

1

2

）T，其中n=0，1，2，3…
对A由a=

Eq

m

及

v

1

=at可求出A球回到原碰撞点的时间t=

2v  1

a

，所以有

2v  1

a

=nT+

T

2

   （n=0，1，2，3…）
将T=2π

M K

、

v

1

=

1

2

2qES m

及a=

Eq

m

代入上式可得K=

3π 2  Eq(2n+1 ) 2

2S

  （n=0，1，2，3，…）
即要使A球与B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，劲度系数k的可能取值为K=

3π 2  Eq(2n+1 ) 2

2S

（n=0，1，2，3，…）