Question

6．在桌面上有一倒立的底面半径为2r玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率为1.5，光在真空中的速度为c．求：
（1）画出完整光路图（不考虑二次反射），并求光束射出玻璃圆锥的折射角：
（2）光束穿越玻璃圆锥的时间：
（3）光束在桌面上形成的光斑半径．

Answer 1

分析 （1）、（3）当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为1.5，可得临界角小于45°，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．故可根据几何关系可确定光斑的半径．
（2）根据几何知识求出光在圆锥内通过的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光在圆锥内的速度，再由t=$\frac{s}{v}$求时间．

解答 解：（1）、（3）画出完整光路图如图所示．
设圆锥的临界角为C，则sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{2}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 C＜45°．
经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°．所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出折射角为0°．
因为ON等于r，则OA等于2r，由于∠MOA=∠AMO=30°，所以AM等于2r．即光斑半径为2r．
（2）光在圆锥内通过的路程为 S=rsin60°+2r=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r
光在圆锥内传播速度 v=$\frac{c}{n}$
故光束穿越玻璃圆锥的时间为 t=$\frac{s}{v}$
联立解得 t=$\frac{（2+\sqrt{3}）r}{3c}$
答：（1）画出完整光路图如图，光束射出玻璃圆锥的折射角是0°．
（2）光束穿越玻璃圆锥的时间是$\frac{（2+\sqrt{3}）r}{3c}$．
（3）光束在桌面上形成的光斑半径是2r．

点评 本题要理解记住爱因斯坦相对论效应之一：钟慢效应．要能运用波形平移法判断质点的振动方向．对于几何光学，要借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．