Question

1．如图所示，质量M=10kg的长方体木箱，长L=1.5m，高h=0.8m，在水平面上向左做直线运动．当木箱的速度v₀=3.6m/s时，对木箱施加一个方向水平向右的恒力F=50N，并同时将质量m=l kg的小球轻放在距木箱右端$\frac{L}{3}$的P点（小球可视为质点，放在P点时相对于地面的速度为零），经过一段时间，小球脱离木箱落到地面．已知木箱上表面光滑，其与地面的动摩擦因数μ=0.2．取g=10m/s²．试求：
（1）小球脱离木箱前，木箱的加速度；
（2）小球放到P点后，木箱向左运动的最大位移；
（3）小球落到地面时，木箱的速度．

Answer 1

分析 （1）对木箱受力分析，运用牛顿第二定律即可求出木箱的加速度；
（2）先求出小球离开木箱时木箱的位移，再根据牛顿第二定律求出小球从木箱上掉下后木箱的加速度，根据速度位移公式求出木箱的位移，两个过程的总位移即木箱向左运动的最大位移；
（3）在小球自由下落到地面的时间内，木箱先向左减速到0，后反向加速，结合牛顿第二定律和速度时间关系式即可求解小球落到地面时，木箱的速度；

解答 解：（1）小球放到木箱上后相对地面静止，
木箱的加速度大小：${a}_{1}^{\;}=\frac{F+μ（M+m）g}{M}$=$\frac{50+0.2×11×10}{10}=7.2m/{s}_{\;}^{2}$
方向：水平向左
（2）当小球离开木箱时，木箱的位移：${x}_{1}^{\;}=0.5m$
木箱的速度大小：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{{v}_{0}^{2}-2a{x}_{1}^{\;}}=\sqrt{3．{6}_{\;}^{2}-2×7.2×0.5}$=2.4m/s
小球从木箱上掉下后，木箱的加速度大小：
${a}_{2}^{\;}=\frac{F+μMg}{M}$=$\frac{50+0.2×10×10}{10}$=$7.0m/{s}_{\;}^{2}$
木箱向左继续运动的位移：${x}_{2}^{\;}=\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}=\frac{0-2．{4}_{\;}^{2}}{2×（-7）}m=0.41m$
小球放到P点后，木箱向左的最大位移：${x}_{m}^{\;}={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=0.5+0.41=0.91m$
（3）小球从木箱上掉下后，木箱向左的时间：${t}_{1}^{\;}=\frac{0-{v}_{1}^{\;}}{-{a}_{2}^{\;}}=\frac{0-2.4}{-7.0}=\frac{2.4}{7}s$
小球自由下落时间：${t}_{Ⅰ}^{\;}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$$＞{t}_{1}^{\;}$
所以，木箱已经返回向右运动
返回时间：${t}_{2}^{\;}={t}_{Ⅰ}^{\;}-{t}_{1}^{\;}=0.4-\frac{2.4}{7}=\frac{0.4}{7}s$
返回的加速度：${a}_{3}^{\;}=\frac{F-μMg}{M}=\frac{50-20}{10}m/{s}_{\;}^{2}=3.0m/{s}_{\;}^{2}$
小球落地时，木箱的速度大小：${v}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{2}^{\;}=3.0×\frac{0.4}{7}=0.17m/s$
方向：水平向右
答：（1）小球脱离木箱前，木箱的加速度$7.2m/{s}_{\;}^{2}$，方向水平向左；
（2）小球放到P点后，木箱向左运动的最大位移为0.91m；
（3）小球落到地面时，木箱的速度为0.17m/s，方向水平向右

点评 本题采用牛顿运动定律和运动学公式结合的方法求解，也可以根据动能定理求解木箱向左运动的最大距离．