Question

2．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体在距月球表面高h处释放，测得物体落到月球表面所用时间为t．宇航员乘飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得运行周期为T，引力常量G未知．据上述信息，可估算出的物理量有（　　）

• A． 月球的半径
• B． 月球的质量
• C． 月球上的第一宇宙速度
• D． 月球的密度

Answer 1

分析 根据自由下落的运动规律求解月球表面的重力加速度．
忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
研究卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式．

解答 解：A、将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面．
根据自由下落的运动规律得：
h=$\frac{1}{2}{gt}^{2}$
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$ ①
飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T，根据万有引力提供向心力得：
mg=$\frac{m{•4π}^{2}R}{{T}^{2}}$  ②
由①②可求得月球的半径R=$\frac{h{T}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}$  ③．故A正确．
B、忽略月球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg  ④
引力常量G未知，由①③④可不能求得月球的质量．
 $\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mR（$\frac{2π}{T}$）²   ⑤
得到月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$⑥
引力常量G未知，由⑥也不能求得月球的质量．故B错误；
C、根据万有引力提供向心力得：mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$   ⑤
由①③⑤联立即可求出：v=$\frac{hT}{π{t}^{2}}$．故C正确；
D、月球的密度为 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，引力常量G未知，也不能求出月球的密度．故D错误．
故选：AC．

点评 解决本题的关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力．