Question

12．如图所示，一个无动力传送带水平放置，传送带的质量M=4kg，长L=5m，轮与轴间的摩擦及轮的质量均不计，传送带刚开始处于静止状态．质量为m=2kg的工件从光滑弧面上高为h=0.45m的a点由静止开始下滑，到b点滑上传送带，工件与皮带之间的动摩擦因数μ=0.2，g=10m/s²，求：
（1）工件离开传送带时的速度大小；
（2）工件在传送带上运动的时间；
（3）系统损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出物块到达b的速度，然后假设工件到达传送带c端前已经与传送带速度相等，由动量守恒定律求出共同速度，然后求出物块的位移，看假设是否正确，最后确定物块的速度；
（2）物块先减速后匀速，由运动学的公式分别求出两段的时间，然后求和；
（3）系统损失的机械能等于摩擦力与相对位移的乘积．

解答 解：（1）设工件从弧面上下滑到b点时速度为v₁，由机械能守恒定律得：
$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.45}=3$m/s…①
假设工件到达传送带c端前已经与传送带速度相等，设为v₂，由于轮的质量及轮与轴间的摩擦不计，传送带可简化为放在光滑水平地面上的长木板，工件和传送带水平方向不受外力，动量守恒，有：
mv₁=（m+M）v₂
代入数据得：v₂=1m/s…②
在此期间，工件匀减速滑动的加速度为：${a}_{1}=\frac{μmg}{m}=μg=0.2×10=2m/{s}^{2}$…③
工件的位移：${s}_{1}=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{-2{a}_{1}}$…④
联立①②③④解得：s₁=2m＜L，假设成立，即工件在到达传送带左端c之前已经与传送带速度相等，之后与传送带以速度v₂一起做匀速运动，即工件离开传送带时的速度为1m/s…⑤
（2）在传送带上匀减速运动的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{-{a}_{1}}=\frac{1-3}{-2}=1$s…⑥
与传送带一起匀速运动的时间：${t}_{2}=\frac{L-s}{{v}_{2}}=\frac{5-2}{1}=3$s…⑦
工件在传送带上运动的时间：t=t₁+t₂=4s…⑧
（3）在t₁时间内，传送带做匀加速运动，加速度：${a}_{2}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×2×10}{5}=1m/{s}^{2}$…⑨
匀加速的位移为：${s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×{1}^{2}=0.5$m…⑩
系统损失的机械能等于滑动摩擦力跟工件与传送带间的相对位移的乘积，即：△E=μmg（s₁-s₂）=0.2×2×10×（2-0.5）=6J
答：（1）工件离开传送带时的速度大小是1m/s；
（2）工件在传送带上运动的时间是4s；
（3）系统损失的机械能是6J．

点评 该题中，由于轮的质量及轮与轴间的摩擦不计，工件和传送带水平方向不受外力，系统在水平方向的动量守恒是解答的关键，然后结合相应的规律与公式即可正确解答．