Question

（09年济南市期末）（13分）如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动。弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出（抛出后小球不会再碰轨道）,已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其它机械能损失，ab段长L=1.25 m，圆的半径R=0.1 m，小球质量m=0.01 kg，轨道质量为M=0.26 kg，g=10 m/s2，求：

（1）若v₀=5 m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程。

（2）若v₀=5 m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向。

（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v₀至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零。

Answer 1

解析：（1） 设小球到达d点处速度为v，由动能定理，得

 

  ①（2分）

 

小球由d点做平抛运动，有  ②（1分）

 

s=vt  ③（1分）

 

联立①②③并代入数值，解得小球从最高点d抛出后的水平射程：

 

0.98 m  ④（1分）

 

（2） 当小球通过d点时，由牛顿第二定律得

 

  ⑤（1分）

 

代入数值解得管道对小球作用力N=1.1 N，方向竖直向下。⑥（2分）

 

（3） 设小球到达c点处速度为vc，由动能定理，得

 

  ⑦（2分）

 

当小球通过c点时，由牛顿第二定律得

 

  ⑧（1分）

 

要使轨道对地面的压力为零，则有

 

N′=Mg  ⑨（1分）

 

联立①②③并代入数值，解得小球的最小速度

 

v₀=6 m/s  ⑩（1分）