Question

19．科学工作者常常用介质来显示带电粒子的径迹．如图所示，平面内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=4×10^-2T．x轴上方真空，x轴下方充满某种不导电的介质并置于沿x轴方向的匀强电场中，粒子在介质中运动时会受到大小为f=kv粘滞阻力，y轴上P（0，0.08）点存在一个粒子源，能沿纸面向各个方向发射质量m=1.6×10^-25kg、带电量q=+1.6×10^-19C且进入介质中，观察到该粒子在介质中的径迹为直线（不计重力及粒子间下滑作用，粒子在介质中运动时电量不变）．
（1）求该粒子源发射粒子的速率；
（2）求k的值，并指出进入介质的其他粒子最终的运动情况（能给出相关参量的请给出参量的值）；
（3）若撤去介质中的电场，求进入介质的粒子在介质中运动的轨迹长度l．

Answer 1

分析 （1）由题意知道粒子的运动过程是：在x轴上方做匀速圆周运动，在下方做直线运动，列出相应的式子就能求出粒子的速率．
（2）由平衡条件，在两个方向的合力为零，就能求出介质阻力常数．
（3）撤去电场后，粒子受阻力和洛仑兹力作用，运动情况非常复杂，从切向方向去考虑，用微元法来做，取一小段，在切向方向介质阻力使粒子的速度减小，变形之后，就是速度的变化与微元时间的积就是这一微元的位移，总的累加起来就是粒子运动的总长度．

解答 解：（1）由几何关系有  （R-0.08）²+0.16²=R²
  解得：R=0.2m
  洛仑兹力提供向心力 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$ 
  解得：v=8×10³m/s  
（2）设粒子进入介质的速度方向与x轴的夹角为θ，$sinθ=\frac{0.16}{0.2}=0.8$    θ=53°
  如图，kv=qvb tan37°  
   k=4.8×10^-21N•s/m
   其他粒子在介质中最终做匀速直线运动
   末速度大小都为  v=8×10³m/s，方向与x轴正方向成53°  或：介质中其他粒子最
   终都和上述粒子的速度大小、方向一样都做匀速直线运动．
（3）在切向应用牛顿第二定律有：
   kv=ma_t
   kv=m $\frac{△v}{△t}$ （在这里△v是速度大小的变化
   k∑v△t=m∑△v，kl=mv-0  
   $l=\frac{mv}{k}=\frac{0.8}{3}m=0.27m$
答：（1）求该粒子源发射粒子的速率为8×10³m/s．
（2）k的值是4.8×10^-21N•s/m，进入介质的其他粒子最终的运动情况是做匀速直线运动．
（3）若撤去介质中的电场，进入介质的粒子在介质中运动的轨迹长度l为0.27m．

点评 本题的靓点在于第三问：撤去介质后粒子运动的长度，显然撤去介质后粒子的运动情况非常复杂，但在切向方向上粒子受到的合力就是介质的阻力，由牛顿第二定律写出表达式，但这里要注意的是把粒子的运动化为无数个微元，再把每一个微元切向位移累加就是粒子运动的总的路程．