Question

7．如图所示，水平光滑地面上停放着一辆质量为M的小车，小车左端靠在竖直墙壁上，其左侧半径为R的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，轨道最低点B与水平轨道BC相切，BC=2R，整个轨道处于同一竖直面内．将质量为m的物块（可视为质点，其中M=2m）从A点无初速释放，物块与小车上表面BC之间的动摩擦因数为0.5．求：
（1）小车加速度运动的时间；
（2）物块相对BC运动的位移．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求得滑块下落至B点时的速度，滑块从B向C滑动时，满足系统动量守恒，求出滑块和小车在水平面上一起运动时的共同速度，再根据动量定理即可求出小车加速的时间；
（2）根据功能关系求出滑块相对小车滑动的距离．

解答 解：（1）小物块从A下滑到B的过程中，小车保持静止，对物块由动能定理得：
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
从B到C的过程中，小车和物块组成的系统水平方向动量守恒，有：
mv₀=（M+m）v₁
所以：${v}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{m+M}$
代入数据得：${v}_{1}=\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$
小车向右运动的过程中受到的摩擦力：f=μmg=0.5mg
由动量定理得：Mv₁=ft
所以：t=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）从B到C的过程中，由功能关系得：
$μmg△x=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{1}}^{2}$
联立各式得：$△x=\frac{4}{3}R$
答：（1）小车加速度运动的时间为$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
（2）物块相对BC运动的位移为$\frac{4}{3}R$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律和功能关系的直接应用，要求同学们能正确分析物体的运动情况，注意使用动量守恒定律时要规定正方向，难度适中．