Question

19．传送带被广泛应用于各行各业，由于不同的物体与传送带之间的动摩擦因数不同，物体在传送带上的运动情况也有所不同，如图所示，一倾斜放置的传送带与水平面的倾角θ=37°，在电动机的带动下以v=2m/s的速率顺时针方向匀速运行．M、N为传送带的两个端点，MN两点间的距离L=7m．N端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住．在传送带上的O处先后由静止释放金属块A和木块B，金属块与木块质量均为1kg，且均可视为质点，OM间距离L=3m．sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．
（1）金属块A由静止释放后沿传送带向上运动，经过2s到达M端，求金属块与传送带间的动摩擦因数μ₁．
（2）木块B由静止释放后沿传送带向下运动，并与挡板P发生碰撞．已知碰撞时间极短，木块B与挡板P碰撞前后速度大小不变，木块B与传送带间的动摩擦因数μ₂=0.5．求：
a．与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离；
b．经过足够长时间，电动机的输出功率恒定，求此时电动机的输出功率．

Answer 1

分析 （1）金属块A在传送带方向上受摩擦力和重力的下滑分力，先做匀加速运动，并设其速度能达到传送带的速度v=2m/s，然后做匀速运动，抓住总位移的大小，结合运动学公式求出加速度的大小，根据牛顿第二定律求出动摩擦因数的大小．
（2）a、根据牛顿第二定律求出木块下滑的加速度，从而结合速度位移公式求出与挡板碰撞的速度，反弹后，速度大于传送带速度，摩擦力向下，速度与传送带速度相等后，摩擦力向上，根据牛第二定律分别求出上滑过程中的加速度，结合运动学公式求出木块B所达到的最高位置与挡板P的距离．
b、经过多次碰撞后木块B以2m/s的速度被反弹，最终在距N点1m的范围内不断以加速度a₂做向上的减速运动和向下的加速运动．木块B对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力，结合P=μmgvcosθ求出电动机的输出功率．

解答 解：（1）金属块A在传送带方向上受摩擦力和重力的下滑分力，先做匀加速运动，并设其速度能达到传送带的速度v=2m/s，然后做匀速运动，达到M点．
金属块由O运动到M有：L=$\frac{1}{2}$at₁²+vt₂
即 $\frac{1}{2}$at₁²+vt₂=3…①
且 t₁+t₂=t
即 t₁+t₂=2…②
v=at₁ 即 2=at₁…③
根据牛顿第二定律有 μ1mgcos370-mgsin370=ma…④
由①②③式解得 t₁=1s＜t=2s 符合题设要求，加速度a=2m/s²
由①式解得金属块与传送带间的动摩擦因数 μ₁=1
（2）a．由静止释放后，木块B沿传送带向下做匀加速运动，其加速度为a₁，运动距离 L_ON=4m，第一次与P碰撞前的速度为v₁
  a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
 v₁=$\sqrt{2{a}_{1}{L}_{ON}}$=4m/s
与挡板P第一次碰撞后，木块B以速度v₁被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₁；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₂．
  a₂=gsinθ+μgcosθ=10m/s²，
s₁=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=0.6m
s₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=1m
因此与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离s=s₁+s₂=1.6m
b．木块B上升到最高点后，沿传送带以加速度a₁向下做匀加速运动，与挡板P发生第二次碰撞，碰撞前的速度为v₂
  v₂=$\sqrt{2{a}_{1}（{s}_{1}+{s}_{2}）}$=$\sqrt{6.4}$m/s
与挡板第二次碰撞后，木块B以速度v₂被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₃；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₄．s₃=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=0.12m
  s₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=1m
木块B上升到最高点后，沿传送带以加速度a₁向下做匀加速运动，与挡板P发生第三次碰撞，碰撞前的速度为v₃
v₃=$\sqrt{2{a}_{1}（{s}_{3}+{s}_{4}）}$=$\sqrt{4.48}$m/s
与挡板第三次碰撞后，木块B以速度v₃被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₅；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₆．
  s₅=$\frac{{v}_{3}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=0.024m
  s₆=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=1m
以此类推，经过多次碰撞后木块B以2m/s的速度被反弹，在距N点1m的范围内不断以加速度a₂做向上的减速运动和向下的加速运动．
木块B对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力
F_f=μmgcosθ
故电动机的输出功率为 P=μmgvcosθ
解得P=8W．
答：（1）金属块与传送带间的动摩擦因数为1；
（2）a、与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离为1.6m；b、电动机的输出功率为8W．

点评 本题是一个多过程问题，比较复杂，关键理清物块在传送带上整个过程中的运动规律，搞清摩擦力的方向，结合牛顿第二定律和运动学公式进行研究．