Question

4．如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m的小球B，用劲度系数为k的轻弹簧连接组成一个弹簧振子，小球B静止在平衡位置．质量为m的小球A，从半径为R的光滑圆弧形轨道，离地高为h（h＜＜R）处的C点，由静止下滑，运动到O点与B球发生弹性碰撞进取终A球又返回到离地高为h的C点，之后这一过程又循环往复地进行下去，已知弹簧振子的周期T=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$，则有s=2h．试求该系统的运动周期，结果用m，k，h，R表示．

Answer 1

分析 由题意可知，小球的运动周期由三部分组成：与弹簧接触的过程中做简谐振动，在OO′之间做匀速直线运动，在圆弧面上做单摆运动，分别以各自的规律求出三段运动的时间，然后求出即可求出周期．

解答 解：因为h＜＜R，所以α＜5°，故A球从C由静止滑到O′的过程是类单摆运动，A球从O′到O的运动为匀速直线运动．A球向左运动到O点和B球发生第一次弹性碰撞，由于A、B两球质量相等，所以A、B两球碰撞前后交换速度，故碰后A球静止在O点，B球做简谐运动．当B球做简谐运动回到O点时，其速度与A、B两球第一次碰撞前A球的速度大小相等，此时，B球和A球发生第二次碰撞，碰后B球静止，A球以和它向左运动时相等的速度匀速向右运动向O′点，再一次做类单摆运动回到C点．此后反复循环．
设A球做类单摆运动的周期为T₁，由单摆周期公式得 T₁=2$π\sqrt{\frac{R}{g}}$
A球从C向O′的往复时间为：t₁=$\frac{1}{2}×{T_1}=π×\sqrt{\frac{R}{g}}$
设A球由C运动向O′的速度为υ，由机械能守恒定律得$mgh=\frac{1}{2}m{υ^2}$
所以：$υ=\sqrt{2gh}$
所以A球从O′到O的往复时间为：${t}_{2}=2×\frac{s}{v}=\frac{2×2h}{\sqrt{2gh}}=2\sqrt{\frac{2h}{g}}$
设B球做简谐运动的周期为T₃，由弹簧振子的周期公式得  T₃=2$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
∴B球做简谐运动的往复时间为  t₃=$\frac{1}{2}$T₃      
即：t₃=$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
综上所述，题中所给系统的运动周期为 T=t₁+t₂+t₃=$π\sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\sqrt{\frac{m}{k}}$
答：该系统的运动周期为$π\sqrt{\frac{R}{g}}$+2$\sqrt{\frac{2h}{g}}$+$π\sqrt{\frac{m}{k}}$．

点评 该题设计的情景比较复杂，小球的周期包括简谐振动的半个周期、单摆的半个周期以及OO′的匀速直线运动，要注重对运动过程的分析．