Question

12．如图所示，半径为R的光滑圆环轨道与高为10R的光滑斜面安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上一轻质弹簧被两小球a、b夹住（不连接）处于静止状态，今同时释放两个小球，a球恰好能通过圆环轨道最高点A，b球恰好能到达斜面最高点B，已知a球质量为m，b的质量是a质量的一半，求释放小球前弹簧具有的弹性势能E_P为多少？

Answer 1

分析 小球a恰能通过最高点A，由重力充当向心力，由向心力公式可得出小球a在A点的速度，由机械能守恒可得出小球a释放时的速度；对b球由机械能守恒可得出小球b释放时的速度；由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能E_P．

解答 解：a球过圆轨道最高点A时 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
求出 v_A=$\sqrt{gR}$
a球从C运动到A，由机械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{1}{2}$mv_A²+2mgR
由以上两式求出 v_c=$\sqrt{5gR}$
b球从D运动到B，由机械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$mv_D²=$\frac{1}{2}$mg•10R
求出  v_D=2$\sqrt{5gR}$
以a球、b球和弹簧系统为研究对象，由机械能守恒定律得：
释放小球前弹簧具有的弹性势能 E_p=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$mv_D²=7.5mgR
答：释放小球前弹簧的弹性势能E_p是7.5mgR．

点评 解决本题的关键要明确物体的能量如何转化的，知道轨道光滑时，往往运用机械能守恒定律求速度．