Question

（2011?揭阳模拟）如图所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子自静止开始经M、N两平行金属板间的电场加速后，从A、B两板的中间沿垂直于磁感线的方向射入磁场．（不计粒子的重力）求：
（1）若粒子被加速后进入磁场的速度为v₀，则它在磁场中做圆周运动的半径和周期各为多少？
（2）MN两极板间的电压U应在什么范围内，粒子才能从磁场内射出？

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出半径，由圆周运动的周期公式求解周期．
（2）当粒子从平行板左边射出时，最大半径为r₁=

d

4

，粒子从左边射出必须满足r≤r₁．当粒子恰好从平行板右边射出时，由几何知识半径r₂，即为粒子从右边射出时运动轨迹最小半径．由半径公式和动能定理求解电压的范围．

解答：解：
（1）粒子在磁场做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有：
          qv₀B=m

v 2 0

r

 
     解得：r=

mv0

qB

     周期T=

2πr

v0

=

2πm

qB

．
（2）带电粒子在MN两极板间的加速过程由动能定理得：
     qU=

1

2

m

v

2 0

如图所示，当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，其圆心为图中O₁点，半径r₁=

d

4

．因此粒子从左边射出必须满足r≤r₁
 联立解得：U≤

B2d2q

32m

．
当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O₂点，设半径为r₂．
由几何关系可得：

r

2 2

=(r2-

d

2

)2+l2
   解得  r2=

d

4

+

l2

d

因此粒子从右边射出必须满足的条件是：r≥r₂
联立解得：U≥

(d2+4l2)2B2q

32d2m

答：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径为=

mv0

qB

，周期为

2πm

qB

；
（2）MN两极板间的电压U应在什么范围内，粒子才能从磁场内射出当U≤

B2d2q

32m

或U≥

(d2+4l2)2B2q

32d2m

时，粒子可以从磁场内射出．

点评：本题关键应用几何知识两种临界情况情况下，粒子圆周运动的半径，这是粒子在磁场中匀速圆周运动问题常用的方法．