Question

11．如图所示，倾斜轨道AB的倾角为37°，CD、EF轨道水平，AB与CD通过光滑圆弧管道BC连接，CD右端与竖直光滑圆周轨道相连．小球可以从D进入该轨道，沿轨道内侧运动，从E滑出该轨道进入EF水平轨道．小球由静止从A点释放，已知AB长为5R，CD长为R，重力加速度为g，小球与斜轨AB及水平轨道CD、EF的动摩擦因数均为0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圆弧管道BC入口B与出口C的高度差为l.8R．求：（在运算中，根号中的数值无需算出）
（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小．
（2）小球刚到C时对轨道的作用力．
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）对球从A运动至C过程运用动能定理列式求解即可；
（2）在C点，重力和支持力的合力提供向心力；根据牛顿第二定律列式求解支持力；然后再结合牛顿第三定律求解压力；
（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的点（设为Q）时，速度减为零，然后滑回D．由动能定理列出等式求解．

解答 解：（1）设小球到达C点时速度为v，小球从A运动至C过程，由动能定理有：
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}$mv_C²，解得：v_C=$\sqrt{5.6gR}$；

（2）小球沿BC轨道做圆周运动，设在C点时轨道对球的作用力为F_N，由牛顿第二定律，有：
 F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$，其中r满足：r+r•sin53°=1.8R，联立上式可得：F_N=6.6mg，
由牛顿第三定律可得，球对轨道的作用力为6.6mg，方向竖直向下．

（3）要使小球不脱离轨道，有两种情况：
情况一：小球能滑过圆周轨道最高点，进入EF轨道．则小球在最高点应满足：m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R′}$≥mg
小球从C直到此最高点过程，由动能定理，有：
-μmgR-mg•2R′=$\frac{1}{2}$mv_P²-$\frac{1}{2}$mv_C²，
可得：R′≤$\frac{23}{25}$R=0.92R，
情况二：小球上滑至四分之一圆轨道的最高点时，速度减为零，然后滑回D．则由动能定理有：
-μmgR-mg•R′=0-$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：R′≥2.3R
所以要使小球不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足R′≤0.92R或R′≥2.3R．
答：（1）小球滑到斜面底端C时速度的大小是$\sqrt{5.6gR}$．
（2）小球刚到C时对轨道的作用力是6.6mg，方向竖直向下．
（3）要使小球在运动过程中不脱离轨道，竖直圆周轨道的半径R′应该满足R′≤0.92R或R′≥2.3R．

点评 此题要求熟练掌握动能定理、圆周运动等规律，包含知识点多，关键要知道小球在运动过程中不脱离轨道可能做完整的圆周运动，也可能只在四分之一圆轨道上运动．运用动能定理时，要明确所研究的过程，分析各个力所做的总功．