Question

1．如图所示的直角坐标系中，第I象限内存在沿y轴负向的匀强电场，第Ⅲ、Ⅳ象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一带正电粒子M在y轴上的P点沿x轴正向射入电场，偏出电场后经x轴上的Q点进入磁场，再经磁场偏转后恰能回到原点O．已知M粒子经过Q点时的速度大小为v，方向与x轴成30°角，粒子的电量为q，质量为m，不计重力．求：
（1）M粒子在P点的入射速度
（2）匀强电场的场强大小
（3）在Q点的正上方L=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$处静止释放一相同的带电粒子N，若二者恰好能在磁场中的某位置相遇，求N粒子需要在M粒子离开P点后多长时间释放．

Answer 1

分析 （1）M粒子在电场中做类平抛运动，水平方向作匀速直线运动，竖直方向作匀加速直线运动，由速度的分解可求得入射速度．
（2）M粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹半径，由几何关系求出OQ间的距离．再研究其电场中的运动情况，由牛顿第二定律和竖直分速度公式结合，可求出匀强电场的场强大小．
（3）N粒子先经过电场加速，再进入磁场中偏转，先由动能定理求出加速获得的速度，再画出两个粒子在磁场中的轨迹，由几何关系得到轨迹的交点，即它们在磁场中的相遇点，找到磁场中轨迹对应的圆心角，可求出磁场中运动时间，再结合电场中运动时间，即可求解．

解答 解：（1）M粒子在电场中做类平抛运动，由速度分解可得：v_P=vcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
（2）M粒子在磁场中运动时，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得：R=$\frac{mv}{qB}$
设OQ间的距离为L，由几何关系可得：
L=2Rsin30°=R=$\frac{mv}{qB}$
在电场中，有：L=v_Pt，v_y=vsin30°=at
由牛顿第二定律得：qE=ma
联立可得：E=$\frac{\sqrt{3}}{4}$Bv
（3）N粒子，在电场中，由动能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
又L=$\frac{2\sqrt{3}mv}{3qB}$，且 L=$\frac{mv}{qB}$
可得：v′=v
两个粒子在磁场中的半径和OQ的长度均相等，且N粒子垂直x轴射入磁场，则其轨迹圆心在O点，如图，由几何关系可知，二者的轨迹相遇点、入射点Q和两个圆心四个点正好构成一个菱形，且有一个角为120°．
两个粒子在磁场中运动的周期为 T=$\frac{2πm}{qB}$
 M粒子到相遇点的时间为：t_M=$\frac{L}{{v}_{P}}$+$\frac{2}{3}$T=$\frac{L}{{v}_{P}}$+$\frac{4πm}{3qB}$
 N粒子到相遇点的时间为：t_N=$\frac{2L}{v′}$+$\frac{1}{3}$T=$\frac{2L}{v′}$+$\frac{2πm}{3qB}$
则△t=t_M-t_N=$\frac{2πm}{3qB}$-$\frac{2\sqrt{3}m}{3qB}$=（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$
即N粒子需要在M粒子离开P点后（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$时间释放．
答：（1）M粒子在P点的入射速度为$\frac{\sqrt{3}}{2}$v．
（2）匀强电场的场强大小为$\frac{\sqrt{3}}{4}$Bv．
（3）N粒子需要在M粒子离开P点后（2π-2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{3qB}$时间释放．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，要掌握处理类平抛运动的方法：运动的分解法，抓住等时性结合运动学公式进行求解．对于粒子在磁场中的运动，会确定圆心、半径和圆心角，根据圆心角来确定磁场中运动时间．