Question

10．“伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围，此后在t秒内绕木星运行N圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁，设这N圈都是绕木星在同一圈周上运行，其运行速率为v，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ（如图所示），设木星为一球体，求：
（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；
（2）木星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据t秒内绕木星运行N圈得出木星探测器的周期，根据v=$\frac{2πr}{T}$得出木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径；
（2）水平抛出的最小速度等于木星的第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小，根据探测器轨道半径与线速度的关系，结合几何关系得出第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）探测器的线速度：v=$\frac{2πr}{T}$，
则探测器的轨道半径：r=$\frac{vT}{2π}$，
由题意可知，周期：T=$\frac{t}{N}$，
解得：r=$\frac{vt}{2πN}$；
（2）探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
设木星的第一宇宙速度为：v₀，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{r}{R}}$v，
由题意可知：R=rsin$\frac{θ}{2}$，
解得：v₀=$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$；
答：（1）木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径为$\frac{vt}{2πN}$；
（2）木星的第一宇宙速度为$\frac{v}{\sqrt{sin\frac{θ}{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．