Question

7．如图所示，在水平地面上固定一个倾角为θ=37°的足够长的粗糙斜面．质量m=1kg的小滑块A（视为质点）以v_A=6m/s的初速度从M点沿斜面向上，m=3kg的小滑块B（视为质点）静止在距M点L=4m的N点，小滑块A开始运动时，对小滑块B施加一个平行于斜面向下的持续恒力F=6N．已知滑块A、B与斜面之间的动摩擦因数均为μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小滑块A沿斜面向上运动的最长时间t_m；
（2）小滑块A开始运动t=1s时，小滑块A、B的间距x．

Answer 1

分析 （1）受力分析后，根据牛顿第二定律求解出加速度，再根据运动学公式求解最长时间；
（2）根据牛顿第二定律求出加速度，t=1s时，A在沿斜面下滑，根据运动学公式求出AB的位移，再由几何关系求出AB的间距

解答 解：（1）根据牛顿第二定律，有
对A：$mgsin37°+μmgcos37°=m{a}_{A}^{\;}$
解得：${a}_{A}^{\;}=gsin37°+μgcos37°=10m/{s}_{\;}^{2}$
对B：$F+{m}_{B}^{\;}gsin37°-μ{m}_{B}^{\;}gcos37°={m}_{B}^{\;}{a}_{B}^{\;}$
解得：${a}_{B}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$
设A向上经时间t速度减为0，则$t=\frac{{v}_{A}^{\;}}{{a}_{A}^{\;}}=\frac{6}{10}=0.6s$
A向上到速度减为0的位移${x}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{A}^{2}}{2{a}_{A}^{\;}}=\frac{{6}_{\;}^{2}}{2×10}=1.8m$
0.6s内B的位移${x}_{B}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{B}^{\;}{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{6}_{\;}^{2}=0.72m$
${x}_{A}^{\;}+{x}_{B}^{\;}＜L$，AB为相遇
所以A沿斜面向上运动的最长时间0.6s
（2）A下滑的加速度${a}_{A}^{′}=gsin37°-μgcos37°=2m/{s}_{\;}^{2}$
A下滑的距离${x}_{A}^{′}=\frac{1}{2}{a}_{A}^{′}t{′}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×2×0．{4}_{\;}^{2}=0.16m$
A的位移${x}_{A}^{″}=1.8-0.16=1.64m$
B的位移${x}_{B}^{″}=\frac{1}{2}{a}_{B}^{\;}{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×4×{1}_{\;}^{2}=2m$
小滑块A开始运动t=1s时，小滑块A、B的间距$△x=L-（{x}_{A}^{″}+{x}_{B}^{″}）=4-（1.64+2）=0.36m$
答：（1）小滑块A沿斜面向上运动的最长时间0.6S；
（2）小滑块A开始运动t=1s时，小滑块A、B的间距x为0.36m

点评 本题是已知受力情况确定运动情况的典型问题，物体的运动分两个过程，关键是求解出加速度，然后根据牛顿第二定律列式计算．