Question

2．如图所示，在xOy平面的x≥R₀区域内有垂直于该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在0≤x＜R₀区域有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度强度的大小E=$\frac{{B}^{2}q{R}_{0}}{m}$，一质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点以初速度大小v₀=$\frac{Bq{R}_{0}}{m}$沿平行于x轴的正方向射入该电场，粒子第一次在磁场中运动时，恰好没有打在x轴上，不计粒子的重力，求：
（1）粒子达到x=R₀处时的速度大小及方向．
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径以及P点的坐标．
（3）该离子再次打到y轴上的点离P点的距离以及该离子从P点射入到再次打到y轴上的过程中在电场中运动的时间与磁场中的运动时间之比．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分速度公式列式求解即可；
（2）在磁场中轨迹圆与x轴相切，画出轨迹圆，根据牛顿第二定律列式求解出半径；然后对类似平抛运动过程根据分位移公式列式求解即可；
（3）在电场中的水平分运动是匀速直线运动，根据分位移公式列式求解电场中运动的时间；在磁场中，根据t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类似平抛运动，有：
a=$\frac{qE}{m}$
R₀=v₀t 
v_y=at 
解得：
${v}_{y}=\frac{Bq{R}_{0}}{m}$ 
此时粒子速度大小为：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}Bq{R}_{0}}{m}$
速度方向与x轴的夹角为：
θ=$\frac{π}{4}$
（2）粒子到达x=R₀时进入磁场，由于qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：
$R=\sqrt{2}{R}_{0}$
粒子在电场中竖直方向的位移：
${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}{R}_{0}$
P点离x轴的距离：
h=y₁+R（1-cosθ）=$\frac{1}{2}{R}_{0}+（\sqrt{2}{R}_{0}-{R}_{0}）=（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）{R}_{0}$
故P点的坐标为：[0，$（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）{R}_{0}$]
（3）粒子再次进入电场后的运动轨迹可以看成上述类平抛运动的延续，故根据运动学知识，粒子竖直方向的位移：
${y}_{2}=3{y}_{1}=\frac{3}{2}{R}_{0}$
粒子的运动轨迹与x=R₀直线相交的A、B两点间距离为2R₀，如图所示；
故根据几何关系知，粒子打在y轴上Q点恰好与P点重合，即：l_PQ=0
粒子在电场中运动时间：${t}_{1}=2\frac{{R}_{0}}{{v}_{0}}=\frac{2m}{Bq}$
粒子在磁场中运动时间：${t}_{2}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2Bq}$
故粒子在电场中与磁场中运动的时间之比：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{4}{3π}$
答：（1）粒子达到x=R₀处时的速度大小为$\frac{\sqrt{2}Bq{R}_{0}}{m}$，方向速度方向与x轴的夹角为$\frac{π}{4}$．
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径以及P点的坐标为[0，$（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）{R}_{0}$]．
（3）该离子再次打到y轴上的点离P点的距离以及该离子从P点射入到再次打到y轴上的过程中在电场中运动的时间与磁场中的运动时间之比为$\frac{4}{3π}$．

点评 本题关键是明确粒子的运动规律，分类似平抛运动和匀速圆周运动过程列式求解，注意画出运动的轨迹，结合几何关系分析，不难．