Question

2007年10月24日，中国首次月球探测工程取得圆满成功．假设探月宇航员站在月球表面以初速度v₀竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，已知月球半径为R，月球的质量分布均匀，万有引力常量为G，求：
（1）月球表面的重力加速度g′；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度v_m；
（3）求月球质量M．

Answer 1

分析：（1）月球表面的重力加速度g′就是小球竖直上抛的加速度，可根据匀减速运动的速度公式的求出．
（2）先万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

解出速度的表达式，再根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G

Mm

R2

，得到GM=R²g′=

2v0R2

t

，代入速度的表达式中化简，当r最小等于地球半径R时，速度最大．
（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G

Mm

R2

，化简可得月球的质量M．

解答：解：（1）探月宇航员站在月球表面以初速度v₀竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
由竖直上抛运动v0=g′

t

2

，
得：g′=

2v0

t

（2）由万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

v2

r

，
得v=

GM r

，
又根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G

Mm

R2

，
得GM=R²g′=

2v0R2

t

所以v=

2v0R2 rt

，
当r最小等于地球半径R时，速度最大为
vm=

2v0R2 Rt

=

2v0R  t

（3）根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力mg′=G

Mm

R2

，
得M=

g′R2

G

=

2v0R2

Gt

．
答：（1）月球表面的重力加速度g′为

2v0

t

；
（2）人造卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度v_m为

2v0R  t

；
（3）求月球质量M为

2v0R2

Gt

．

点评：本题要知道人造卫星绕月球附近做匀速圆周运动时速度最大，根据重力等于向心力也可求解最大速度，这种方法更简单一些．