Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，光滑且绝缘的水平轨道MN的长度为L，N点到O点的竖直距NO=

3

2

L．有一质量为m、电荷量为+q的带电小球（可看成质点）放在M点．已知在第一象限分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强E2=

mg

q

；磁场方向水平（图中垂直纸面向外），磁感应强度大小为B；在第二象限分布着沿x轴正向的水平匀强电场，场强E1=

B2qL

6m

．求
（1）小球到达N点的速度大小
（2）小球到达x轴上的坐标
（3）小球从M点由静止释放至落到x轴上所需的时间（设运动过程中小球所带的电荷量不变）．

Answer 1

分析：根据动能定理列方程求小球到到N点的速度；
根据位移公式和牛顿第二定律求出小球从M到N点的时间，小球进入第一象限后电场力与重力平衡，根据洛伦兹力提供向心力求出做圆周运动半径，画出轨迹，由几何知识求得到达x轴的坐标；
由圆周运动周期公式T=

2πm

qB

结合圆心角求出磁场中运动的时间，总时间为电场中运动时间与磁场中运动时间之和．

解答：解：（1）设带电小球运动到N点时速度为v_N，由动能定理：
E₁qL=

1

2

mv_N²
解得：v_N=

3

3

BLq

m

（2）当小球进入第一象限后，qE₂=mg
所受电场力与重力平衡，所以带电小球将做匀速圆周运动：Bqv_N=m

vN2

R

则小球做匀速圆周运动的半径R=

mvN

qB

=

3

3

L

设圆周运动的圆心在图中的O′点，小球落点为P，O′O=NO-R=

3

6

L
∠OO′P=arccos

OO′

R

=arccos

1

2

=60°
则带电粒子转过的圆心角为120°
到达x轴的位置到O点的距离为

3

2

R=

1

2

L
（3）设小球从M点运动到N点设用时为t₁，则L=

1

2

a₁t₁²
qE₁=ma₁
联立解得：t₁=

2 3 m

qB

，
带电小球从N点运动到P点所用时间t₂=

1

3

T=

2πm

qB

×

1

3

=

2πm

3qB

小球从M点出发到x轴的过程中所用时间t=t₁+t₂=

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．
答：（1）小球到达N点的速度大小

3 BLq

3m

．
（2）小球到达x轴上的坐标（

1

2

L，0）．
（3）小球从M点由静止释放至落到x轴上所需的时间（设运动过程中小球所带的电荷量不变）

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．

点评：本题的关键是找出粒子在混合场中运动的圆心画出轨迹，这是解决多数带电粒子在磁场中运动的突破口．